Феномен Рунге

---

Феномен (явление) Рунге — в численном анализе эффект нежелательных осцилляций(колебаний), возникающий при интерполяции полиномами высоких степеней. Был открыт Карлом Рунге при изучении ошибок полиномиальной интерполяции для приближения некоторых функций^[1].

Рассмотрим функцию ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+25x^{2}}}.}$ Если интерполировать её по равноотстоящим узлам ${\displaystyle x_{i}}$ между −5 и 5. ${\displaystyle x_{i}=-5+(i-1){\frac {10}{n}},\quad i\in \left\{1,2,\dots ,n+1\right\}}$ полиномом ${\displaystyle P_{n}(x)}$ со степенью меньше или равной ${\displaystyle n}$, то полученный интерполянт будет осциллировать ближе к концам интервала. С возрастанием степени полинома погрешность интерполяции стремится к бесконечности: ${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(\max _{-5\leq x\leq 5}|f(x)-P_{n}(x)|\right)=\infty .}$

---