Физика элементарных частиц и теория представлений

---

Физика элементарных частиц и теория представлений — физика элементарных частиц при построении своих математических моделей в качестве важной составной части математического аппарата использует теорию представлений.^[1] Она связывает математическое описание свойств элементарных частиц со структурой групп Ли и алгебр Ли.

В соответствии с этой связью различные квантовые состояния элементарной частицы приводят к неприводимому представлению группы Пуанкаре. Более того, свойства различных частиц, включая их спектры, могут быть связаны с представлениями алгебр Ли, соответствующим «приближенным симметриям» физического мира.^[2][3][4][5]Впервые важность теории представлений в физике элементарных частиц отметил в 1930-х годах Юджин Вигнер^[6]

В квантовой механике любое конкретное одночастичное состояние представляется в виде вектора в гильбертовом пространстве ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$.^[7] Чтобы узнать, существование каких типов частиц допускается симметриями, важно классифицировать возможности ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$, допускаемые симметриями, и их свойства. Пусть ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ — гильбертово пространство, описывающее конкретную квантовую систему, и пусть ${\displaystyle G}$ — группа симметрий квантовой системы. Например, в релятивистской квантовой системе ${\displaystyle G}$ может быть группой Пуанкаре, в то время как для атома водорода ${\displaystyle G}$ может быть группой вращения SO(3). Состояние частицы более точно характеризуется ассоциированным проективным гильбертовым пространством^[англ.] ${\displaystyle \mathrm {P} {\mathcal {H}}}$, также называемым пространством лучей, поскольку два вектора, отличающиеся ненулевым скалярным коэффициентом, соответствуют одному и тому же физическому квантовому состоянию, представленному «лучом» в гильбертовом пространстве, которое является классом эквивалентности в ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ и, согласно естественной проекционной карте ${\displaystyle {\mathcal {H}}\rightarrow \mathrm {P} {\mathcal {H}}}$, элементом ${\displaystyle \mathrm {P} {\mathcal {H}}}$.

---