Формула Остроградского — Гаусса

---

Фо́рмула Остроградского — Гаусса связывает поток непрерывно-дифференцируемого векторного поля через замкнутую поверхность и интеграл от дивергенции этого поля по объёму, ограниченному этой поверхностью.

Формула применяется для преобразования объёмного интеграла в интеграл по замкнутой поверхности и наоборот.

Поток вектора ${\displaystyle \mathbf {a} }$ через замкнутую поверхность ${\displaystyle S}$ равен интегралу от ${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {a} ,}$ взятому по объему ${\displaystyle V}$, ограниченному поверхностью ${\displaystyle S}$^[1]

где ${\displaystyle d\omega }$ и ${\displaystyle ds}$ — дифференциалы объёма и поверхности соответственно. ${\displaystyle P=P(x,\;y,\;z),\;Q=Q(x,\;y,\;z),\;R=R(x,\;y,\;z)}$ — функции, непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области пространства, ограниченного замкнутой гладкой поверхностью^[2].

где ${\displaystyle \cos \alpha \,{dS}={dy}{dz}}$, ${\displaystyle \cos \beta \,{dS}={dz}{dx}}$ и ${\displaystyle \cos \gamma \,{dS}={dx}{dy}}$. В современной записи ${\displaystyle \omega =d\Omega }$ — элемент объёма, ${\displaystyle s=dS}$ — элемент поверхности^[2].

---