Формула конечных приращений

---

Формула конечных приращений, или теорема Лагра́нжа о среднем значении, утверждает, что если функция ${\displaystyle f}$ непрерывна на отрезке ${\displaystyle [a;b]}$ и дифференцируема в интервале ${\displaystyle (a;b)}$, то найдётся такая точка ${\displaystyle c\in (a;b)}$, что

Геометрически это можно переформулировать так: на отрезке ${\displaystyle [a;b]}$ найдётся внутренняя точка, в которой касательная параллельна хорде, проходящей через точки графика, соответствующие концам отрезка.

Механическое истолкование: Пусть ${\displaystyle f(t)}$ — расстояние точки в момент ${\displaystyle t}$ от начального положения. Тогда ${\displaystyle f(b)-f(a)}$ есть путь, пройденный с момента ${\displaystyle t=a}$ до момента ${\displaystyle t=b}$, отношение ${\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}}$ — средняя скорость за этот промежуток. Значит, если скорость тела определена в любой момент времени ${\displaystyle t\in (a,b)}$, то в некоторый момент она будет равна своему среднему значению на этом участке.

---