Функция Эйри

---

называемого уравнением Эйри (впервые рассмотрено и исследовано в 1838 году британским астрономом Джорджем Бидделем Эйри)^[1]. Это — простейшее дифференциальное уравнение, имеющее на действительной оси точку, в которой вид решения меняется с колеблющегося на экспоненциальный.

Обычно термин «функция Эйри» применяется к двум специальным функциям — функции Эйри 1-го рода ${\displaystyle \operatorname {Ai} \,(x)}$ (которая при ${\displaystyle x\rightarrow -\infty }$ имеет колебательное поведение с постепенным уменьшением амплитуды колебаний, а при ${\displaystyle x\rightarrow +\infty }$ монотонно убывает по экспоненциальному закону) и функции Эйри 2-го рода ${\displaystyle \operatorname {Bi} \,(x)}$ (которая при ${\displaystyle x\rightarrow -\infty }$ также колеблется с постепенным уменьшением амплитуды колебаний, а при ${\displaystyle x\rightarrow +\infty }$ монотонно растёт по экспоненциальному закону); остальные частные решения уравнения Эйри представимы как линейные комбинации двух данных функций^[2]. Обозначение Ai для первой из этих функций предложил в 1928 году Гарольд Джеффрис, использовавший первые две буквы фамилии Эйри (англ. Airy)^[3]. В 1946 году Джеффри Миллер^[en] добавил обозначение Bi для функции Эйри 2-го рода, также ставшее стандартным^[4].

Для действительных ${\displaystyle x}$ функция Эйри 1-го рода определяется следующим несобственным интегралом^[1]:

Выполняя дифференцирование под знаком интеграла, убеждаемся, что полученная функция действительно удовлетворяет уравнению Эйри

---