Экспонента

---

Экспоне́нта — показательная функция ${\displaystyle f(x)=\exp(x)=e^{x}}$, где ${\displaystyle e\approx 2{,}718}$ — число Эйлера.

Экспоненциальная функция может быть определена различными эквивалентными способами. Например, через ряд Тейлора:

Слово экспонента происходит от лат. "exponere", что переводится как "выставить вперёд; показать", которое в свою очередь произошло от лат. приставки "ex-" ("впереди") и лат. слова "ponere" ("ставить, расположить");^[1] Смысл использования такого слова для показателя степени заключается в том, что знак экспоненты "ставят вне" привычной линии письма ${\displaystyle a^{x}}$(немного выше и правее места, где обычно должна быть поставлена цифра).

Комплексная экспонента — математическая функция, задаваемая соотношением ${\displaystyle f(z)=e^{z}}$, где ${\displaystyle z}$ есть комплексное число. Комплексная экспонента определяется как аналитическое продолжение экспоненты ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ вещественного переменного ${\displaystyle x}$:

Определённое таким образом выражение на вещественной оси будет совпадать с классической вещественной экспонентой. Для полной корректности построения необходимо доказать аналитичность функции ${\displaystyle e^{z}}$, то есть показать, что ${\displaystyle e^{z}}$ разлагается в некоторый сходящийся к данной функции ряд. Покажем это:

---