Цепная линия

---

Цепна́я ли́ния, также катенария^[1], — линия, форму которой принимает гибкая однородная нерастяжимая тяжёлая нить или цепь (отсюда название линии) с закреплёнными концами в однородном гравитационном поле. Является плоской трансцендентной кривой.

(о функции ${\displaystyle \operatorname {ch} }$ см. гиперболический косинус).

Все цепные линии подобны одна другой, изменение параметра ${\displaystyle a}$ эквивалентно равномерному растяжению или сжатию графика функции вдоль оси ${\displaystyle x}$. Переменная ${\displaystyle x}$ графика отсчитывается от самой низкой точки на оси ординат цепной линии. Значение этой ординаты равно значению ${\displaystyle a}$. Если значение параметра ${\displaystyle a}$ меньше нуля, то мы имеем не провисающую цепь, а арку.

Параметр ${\displaystyle a}$ имеет физический смысл. Это отношение горизонтальной проекции силы, растягивающей цепь, к удельному (линейному) весу цепи.

Математические свойства цепной линии впервые изучал Роберт Гук в 1670-х годах, а её уравнение было получено независимо Лейбницем, Гюйгенсом и Иоганном Бернулли в 1691 году.

Перевёрнутая цепная линия — идеальная с точки зрения прочности форма для арок. Материал однородной арки с одинаковой по длине линейной плотностью в форме перевёрнутой цепной линии испытывает только механические напряжения сжатия и не испытывает напряжений изгиба.

---