Четырёхмерная топология — раздел топологии, который исследует топологические и гладкие четырёхмерные многообразия.
В размерности 4 теория топологических и гладких многообразий сильно отличается от низших и высших размерностей.
Гомотопический тип односвязного компактного 4-мерного многообразия зависит только от его формы пересечений.
Классификация Фридмана может быть продолжена в некоторых случаях, когда фундаментальная группа не слишком сложна. Например, если она изоморфна Z, то существует классификация с использованием эрмитовых форм над групповым кольцом группы Z. В случае слишком больших фундаментальных групп (например, свободной группы с 2 образующими) метод Фридмана не применим, и очень мало известно о таких многообразиях.
Для любой конечно заданной группы существует гладкое компактное 4-мерное многообразие, фундаментальная группа которого изоморфна этой группе. Поскольку не существует алгоритма, позволяющего определить, являются ли два задания группы изоморфными, не существует и алгоритма, чтобы определить, когда два многообразия имеют изоморфные фундаментальные группы. Это одна из причин, почему значительная часть работ о 4-мерных многообразиях рассматривают односвязной случай: известно, что в общем случае многие задачи неразрешимы.
Для многообразия размерности не более чем 6 любая кусочно-линейная структура может быть сглажена единственным образом.[1]В частности, классификация 4-мерных кусочно-линейных многообразий не отличается от теории 4-мерных гладких многообразий.