Свободная группа

---

Свобо́дная гру́ппа в теории групп — группа, для которой существует такое её подмножество, называемое базисом, что каждый элемент группы может быть единственным образом записан в виде несократимого слова в элементах базиса и их обратных. Является центральным понятием комбинаторной теории групп.

Любые две группы, обладающие равномощными базисами, изоморфны. Мощность базиса свободной группы называется её рангом. В частности, для каждого ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ определена свободная группа ранга ${\displaystyle n}$, которая обозначается ${\displaystyle F_{n}}$. Например, группа ${\displaystyle F_{1}}$ изоморфна бесконечной циклической группе.

Возможно предъявить явную конструкцию свободных групп, доказав тем самым их существование^[1][2]. Будем считать элементы множества ${\displaystyle S}$ «символами» и для каждого символа ${\displaystyle s}$ из ${\displaystyle S}$ введём символ ${\displaystyle s^{-1}}$; множество последних обозначим ${\displaystyle S^{-1}}$. Пусть

Определим слово над ${\displaystyle S}$ как конечную цепочку (возможно, повторяющихся) символов из ${\displaystyle T}$, записанных друг за другом. Вместе с операцией конкатенации (склейки, приписывания) множество слов над ${\displaystyle S}$ становится полугруппой. Будем считать, что во множестве слов имеется пустое слово ${\displaystyle \varepsilon }$, которое не содержит символов. Таким образом получается моноид слов над ${\displaystyle S.}$

---