Удлинённый квадратный гиробикупол или псевдоромбокубооктаэдр (по Залгаллеру — удлинённый четырёхскатный повёрнутый бикупол) — один из многогранников Джонсона (J37 = (по Залгаллеру) М5+П8+М5); один из двух псевдооднородных многогранников[англ.], другой — большой псевдоромбокубооктаэдр. Тело, обычно, не считается архимедовым телом, хотя его грани и являются правильными многоугольниками и многоугольники вокруг каждой вершины те же самые, но, в отличие от 13 архимедовых тел, многогранник не обладает глобальной симметрией, переводящей любую вершину в любую другую (хотя Грюнбаум предлагал добавить многогранник к традиционному списку архимедовых тел в качестве 14-го тела).
Тело, возможно, было открыто Иоганном Кеплером в его перечислении архимедовых тел, но первое ясное появление многогранника в печати было в работе Дункана Соммервиля[англ.] в 1905[1]. Многогранник был независимо переоткрыт Д. Ч. П. Миллером[англ.] в 1930 (по ошибке, когда он пытался построить модель ромбокубооктаэдра[2], а затем его переоткрыл В. Г. Ашкинузе в 1957[3].
Многогранник Джонсона — это один из 92 строго выпуклых многогранников, имеющих правильные грани, но не являющийся однородным (то есть он не правильный, не архимедов, не призма или антипризма). Название многограннику дал Нортон Джонсон[англ.], который первым перечислил эти многогранники в 1966[4].
Как показывает название, многогранник может быть построен как удлинение квадратного гирокупола[англ.] (J29 = М5+М5) со вставкой восьмиугольной призмы между двумя половинками.
Тело можно рассматривать также как результат поворота одного из квадратных куполов (J4 = М5) ромбокубооктаэдра (который является одним из архимедовых тел и который известен как удлинённый квадратный ортобикупол) на 45 градусов. Таким образом, многогранник является повёрнутым ромбокубооктаэдром, откуда тело получило второе название — псевдоромбокубооктаэдр. Иногда о нём говорят как о «четырнадцатом архимедовом теле».
Удлинённый квадратный гиробикупол обладает симметрией D4d. Тело локально вершинно однородно — расположение четырёх граней, смежных любой вершине, то же самое, что и у других вершин. Это свойство уникально среди тел Джонсона. Однако многогранник не вершинно транзитивен, а следовательно, не считается (как правило) архимедовым телом, поскольку существует пара вершин, которые не переходят одна в другую изометрией. По существу, можно различить два вида вершин по «соседям их соседей.» Другой путь увидеть, что многогранник не вершинно транзитивен — обратить внимание на то, что существует только один пояс из восьми квадратов по экватору. Если выкрасить грани согласно симметрии D4d, получим: