Числа Люка

---

с начальными значениями ${\displaystyle L_{0}=2}$ и ${\displaystyle L_{1}=1}$ и сопряжены с числами Фибоначчи. Эти числа названы в честь французского профессора Эдуарда Люка. Последовательность чисел Люка начинается так:

Последовательность ${\displaystyle L_{n}}$ можно выразить как функцию от n:

где ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ — золотое сечение. При n > 1 число |(−φ)⁻ⁿ| меньше 0,5 и с ростом n всё сильнее приближается к нулю, а значит, при n > 1 числа Люка выражаются в виде ${\displaystyle L_{n}=\lfloor \varphi ^{n}\rceil ,}$ где ${\displaystyle \lfloor \cdot \rceil }$ — функция округления к ближайшему целому.

Примечательно, что числа Фибоначчи ${\displaystyle F_{n}}$ выражаются похожим образом с помощью формулы Бине:

Числа Люка могут использоваться для проверки чисел на простоту. Чтобы проверить, является ли число p простым, возьмём (p + 1)-ое число Люка, вычтем из него единицу — и если полученное число не делится на p нацело, то p гарантированно не является простым. В противном случае число может быть как простым, так и составным и требует более тщательной проверки.

${\displaystyle {\cfrac {1364-1}{15}}=90.866666\ldots }$

---