Числа Люка

---

с начальными значениями ${\displaystyle L_{0}=2}$ и ${\displaystyle L_{1}=1}$; сопряжены с числами Фибоначчи. Первые значения^[1]:

Названы по имени Эдуарда Люка, исследовавшего «обобщённые последовательности Фибоначчи», позднее также названные его именем, одним из вариантов которых и являются числа Люка.

Последовательность ${\displaystyle L_{n}}$ можно выразить как функцию от ${\displaystyle n}$:

где ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ — золотое сечение. При ${\displaystyle n>1}$n > 1 число ${\displaystyle |(-\varphi )^{-n}|<0{,}5}$ и с ростом ${\displaystyle n}$ всё сильнее приближается к нулю, а значит, при ${\displaystyle n>1}$ числа Люка выражаются в виде ${\displaystyle L_{n}=\lfloor \varphi ^{n}\rceil }$, где ${\displaystyle \lfloor \cdot \rceil }$ — функция округления к ближайшему целому.

Примечательно, что числа Фибоначчи ${\displaystyle F_{n}}$ выражаются похожим образом с помощью формулы Бине:

Числа Люка можно также определить для отрицательных индексов по формуле ${\displaystyle L_{-n}=(-1)^{n}L_{n}}$.

---