Число Мерсенна

---

Число Мерсе́нна — число вида ${\displaystyle M_{n}=2^{n}-1}$, где ${\displaystyle n}$ — натуральное число; такие числа примечательны тем, что некоторые из них являются простыми при больших значениях ${\displaystyle n}$. Названы в честь французского математика Маре́на Мерсенна, исследовавшего их свойства в XVII веке.

Для всех ${\displaystyle M_{n}}$ справедливо следующее: если ${\displaystyle n}$ составное, ${\displaystyle n=kl,k,l>1}$, то и ${\displaystyle M_{n}}$ тоже составное, что следует из разложения:

Отсюда сразу следует: число ${\displaystyle M_{n}}$ является простым, только если число ${\displaystyle n}$ также простое. Обратное утверждение в общем случае неверно, наименьшим контрпримером является ${\displaystyle M_{11}=2047=23\cdot 89}$.

Любой делитель составного числа ${\displaystyle M_{p}}$ для простого ${\displaystyle p}$ имеет вид ${\displaystyle 2\cdot p\cdot k+1}$, где ${\displaystyle k}$ — натуральное число (это является следствием малой теоремы Ферма).

---