Малая теорема Ферма

---

Если ${\displaystyle p}$ — простое число и ${\displaystyle a}$ — целое число, не делящееся на ${\displaystyle p,}$ то ${\displaystyle a^{p-1}-1}$ делится на ${\displaystyle p.}$

На языке теории сравнений: ${\displaystyle a^{p-1}}$ сравнимо с 1 по простому модулю ${\displaystyle p}$. Формальная запись: ${\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}$

К примеру, если ${\displaystyle a=2;p=7,}$ то ${\displaystyle 2^{6}=64,}$ и ${\displaystyle 64-1=63=7\cdot 9.}$

Малая теорема Ферма является частным случаем теоремы Эйлера^[2], которая, в свою очередь, является частным случаем теоремы Кармайкла и теоремы Лагранжа для групп для конечных циклических групп. Теорему высказал без доказательства Пьер Ферма, первое доказательство дали Леонард Эйлер и Готфрид Вильгельм Лейбниц.

Малая теорема Ферма стала одной из главных теорем для исследований не только в теории целых чисел, но и в более широких областях^[3][4].

---