Число Улама

---

Число Улама — это член целочисленной последовательности, придуманной и названной в свою честь Станиславом Уламом, в 1964 году.

Стандартная последовательность Улама (или (1, 2)-числа Улама) начинается с U₁ = 1 и U₂ = 2. При n > 2, U_n определяется, как наименьшее целое число большее U_n-1, которое единственным образом разлагается в сумму двух различных более ранних членов последовательности.

Из определения вытекает, что 3 это число Улама (1+2); и 4 это число Улама (1+3). (Тут 2+2 не является вторым представлением 4, потому что предыдущие члены должны быть различными.) Число 5 не является числом Улама, потому что 5 = 1 + 4 = 2 + 3. Последовательность начинается, как:

Существует бесконечно много чисел Улама, поскольку после добавления первых n членов всегда можно добавить еще один элемент: U_{n − 1} + U_n , который будет однозначно определен, как сумма двух элементов меньше него и мы можем получить еще меньшие элементы используя подобный метод, поэтому следующий элемент можно определить, как наименьший среди этих однозначно определяемых вариантов.^[1]

Улам считал, что числа Улама имеют нулевую асимптотическую плотность,^[2] однако, по-видимому, она равна 0.07398.^[3]

Было замечено^[4] , что первые 10 миллионов чисел Улама удовлетворяют свойству: ${\displaystyle \cos {(2.5714474995a_{n})}<0}$ кроме 4 элементов ${\displaystyle \left\{2,3,47,69\right\}}$ (и это продолжается и далее, как известно, до ${\displaystyle n=10^{9}}$). Неравенства такого типа обычно верны для последовательностей, обладающих некоторой формой периодичности, но последовательность Улама, как известно, не является периодической, и явление не было объяснено. Его можно использовать для быстрого вычисления последовательности Улама (см. внешние ссылки).

---