Асимптотическая плотность

---

В теории чисел асимптотическая плотность — это одна из характеристик, помогающих оценить, насколько велико подмножество множества натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$.

Интуитивно мы ощущаем, что нечётных чисел «больше», чем квадратов; однако множество нечётных чисел в действительности не «больше» множества квадратов: оба множества бесконечны и счётны, и, таким образом, могут быть приведены в соответствие «один к одному» друг с другом. Очевидно, чтобы формализовать наше интуитивное понятие, нам нужен лучший способ.

Если мы случайным образом выберем число из множества ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$, то вероятность того, что оно принадлежит A, будет равна отношению количества элементов множества ${\displaystyle A\cap \{1,2,\ldots ,n\}}$ к числу n. Если эта вероятность стремится к некоторому пределу при стремлении n к бесконечности, этот предел называют асимптотической плотностью A. Мы видим, что это понятие может рассматриваться как вероятность выбора числа из множества A. Действительно, асимптотическая плотность (также, как и некоторые другие виды плотности) изучается в вероятностной теории чисел^[англ.] (англ. Probabilistic number theory).

Асимптотическая плотность отличается, например, от плотности последовательности. Отрицательной стороной такого подхода является то, что асимптотическая плотность определена не для всех подмножеств ${\displaystyle \mathbb {N} }$.

Подмножество ${\displaystyle A}$ положительных чисел имеет асимптотическую плотность ${\displaystyle \alpha }$, где ${\displaystyle 0\leqslant \alpha \leqslant 1}$, если предел отношения числа элементов ${\displaystyle A}$, не превосходящих ${\displaystyle n}$, к ${\displaystyle n}$ при ${\displaystyle n\to \infty }$ существует и равен ${\displaystyle \alpha }$.

---