Трёхмерная сфера

---

Трёхмерная сфе́ра (трёхмерная гиперсфе́ра, иногда 3-сфе́ра) — сфера в четырёхмерном пространстве. Состоит из множества точек, равноудалённых от фиксированной центральной точки в четырёхмерном евклидовом пространстве. Так же, как двумерная сфера, которая образует границу шара в трёх измерениях, 3-сфера имеет три измерения и является границей четырёхмерного шара.

В декартовых координатах ${\displaystyle (x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})}$ трёхмерная сфера радиуса ${\displaystyle r}$ может быть задана уравнением

Рассматривая комплексное пространство ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ как вещественное ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$, уравнение сферы может быть рассмотрено как

Аналогично, в пространстве кватернионов ${\displaystyle \mathbb {H} ^{1}}$:

Являясь трёхмерным многообразием, трёхмерная сфера может быть задана параметрически с использованием трёх координат. Примером являются гиперсферические координаты:

Трёхмерная сфера ${\displaystyle S^{3}}$ является границей четырёхмерного шара.

---