Z-преобразование

---

Z-преобразованием (преобразованием Лорана) называют свёртывание исходного сигнала, заданного последовательностью вещественных чисел во временно́й области, в аналитическую функцию комплексной частоты. Если сигнал представляет импульсную характеристику линейной системы, то коэффициенты Z-преобразования показывают отклик системы на комплексные экспоненты ${\displaystyle E(n)=z^{-n}=r^{-n}e^{-i\omega n}}$, то есть на гармонические осцилляции с различными частотами и скоростями нарастания/затухания.

Z-преобразование, как и многие интегральные преобразования, может быть задано как одностороннее и двустороннее.

Двустороннее Z-преобразование ${\displaystyle X(z)}$ дискретного временного сигнала ${\displaystyle x[n]}$ задаётся как:

где ${\displaystyle n}$ — целое, ${\displaystyle z}$ — комплексное число.

где ${\displaystyle A}$ — амплитуда, а ${\displaystyle \varphi }$ — угловая частота (в радианах на отсчёт)

В случаях, когда ${\displaystyle x[n]}$ определена только для ${\displaystyle n\geqslant 0}$, одностороннее Z-преобразование задаётся как:

---