Квазиклассическое приближение

---

Квазикласси́ческое приближе́ние, также известное как метод ВКБ (Ве́нтцеля — Кра́мерса — Бриллюэ́на) — пример квазиклассического вычисления в квантовой механике, в котором волновая функция представлена как показательная функция, квазиклассически расширенная, а затем или амплитуда, или фаза медленно изменяются. Метод назван в честь физиков Г. Вентцеля, Х. А. Крамерса и Л. Бриллюэна, которые развили его в 1926 году независимо друг от друга.

В 1923 году математик Гарольд Джеффри разработал общий метод приближённого решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка, который включает и решение уравнения Шрёдингера. Но, так как уравнение Шрёдингера появилось два года спустя, ни Вентцель, ни Крамерс, ни Бриллюэн, очевидно, не знали эту более раннюю работу. В некотором смысле исторически квазиклассическое приближение предшествовало методу ВКБ и понятию волновой функции вообще: так называемая «старая квантовая теория» изучала тот же предельный случай эмпирически в 1900—1925 гг.

Наиболее частое применение квазиклассического решения — приближённые формулы для нахождения энергий уровней в квантовых ямах и вероятностей прохождения туннельных барьеров в случаях, когда получение точного решения невозможно.

где ${\displaystyle \Psi }$ — искомая волновая функция, ${\displaystyle V}$ — потенциальная энергия, ${\displaystyle x}$ — координата, ${\displaystyle m}$ — масса частицы, ${\displaystyle E}$ — её полная энергия, ${\displaystyle \hbar }$ — редуцированная постоянная Планка.

где ${\displaystyle i}$ — мнимая единица, а знак ${\displaystyle \pm }$ отражает наличие двух вариантов. Нижний предел интеграла здесь и далее в подобных случаях можно взять произвольно ввиду наличия неопределённых предэкспоненциальных констант.

Мы представим волновую функцию в виде экспоненциальной функции другой неизвестной функции ${\displaystyle \Phi }$:

---