Мнимая единица

---

Мни́мая едини́ца — комплексное число, квадрат которого равен ${\displaystyle -1}$. В математике, физике мнимая единица обозначается латинской буквой ${\displaystyle i}$ (в электротехнике: ${\displaystyle j}$)^[1][2].

Введение мнимой единицы позволяет расширить поле вещественных чисел до поля комплексных чисел. Одной из причин введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение ${\displaystyle f(x)=0}$ с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Так, уравнение ${\displaystyle x^{2}+1=0}$ не имеет вещественных корней. Однако оказывается, что любое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами имеет комплексное решение — об этом говорит основная теорема алгебры. Существуют и другие области, в которых комплексные числа приносят большую пользу.

Исторически мнимая единица сначала была введена для решения вещественного кубического уравнения: при наличии трёх вещественных корней для получения двух из них формула Кардано требовала извлечения квадратных корней из отрицательных чисел.

Вплоть до конца XIX века наряду с символом ${\displaystyle i}$ использовалось обозначение ${\displaystyle {\sqrt {-1}},}$ однако современные источники предписывают во избежание ошибок под знаком радикала помещать только неотрицательные выражения^[3][4]. Более того, помимо мнимой единицы, существует ещё одно комплексное число, квадрат которого равен ${\displaystyle -1,}$ — число ${\displaystyle -i,}$ в паре с которым мнимая единица составляет следующие свойства:

Термин «мнимая единица» может употребляться не только для комплексных чисел, но и для их обобщений^[⇨].

Отсюда: ${\displaystyle i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}}$, где mod 4 — это остаток от деления на 4.

---