Кривая погони

---

Кривая погони — кривая, представляющая собой решение задачи о «погоне», которая ставится следующим образом. Пусть точка ${\displaystyle A}$ равномерно движется по некоторой заданной кривой. Требуется найти траекторию равномерного движения точки ${\displaystyle P}$ такую, что касательная, проведённая к траектории в любой момент движения, проходила бы через соответствующее этому моменту положение точки ${\displaystyle A}$.

Чтобы вывести уравнение линии, выберем системы координат, в которой ось абсцисс проходит через начальное положение точек ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle A}$, и точка ${\displaystyle A}$ находится в начале системы координат xAy. Отношение постоянных скоростей точек обозначим через k.

Если допустить, что за бесконечно малый промежуток времени точка ${\displaystyle P}$ прошла расстояние ${\displaystyle dS}$, а точка ${\displaystyle A}$ — расстояние ${\displaystyle dS_{1}}$, то , согласно поставленному выше условию, получим соотношение ${\displaystyle dS=kdS_{1}}$, или

Далее следует выразить ${\displaystyle d\xi }$ и ${\displaystyle d\eta }$ через x, y и их дифференциалы. По условию, координаты точки ${\displaystyle P}$ должны удовлетворять уравнению касательной к искомой кривой, то есть

Добавляя к этому уравнению заданное условием уравнение траектории ${\displaystyle F(\xi ,\eta )}$ движения «убегающего», можно определить из полученной системы уравнения ${\displaystyle \xi }$ и ${\displaystyle \eta }$. После подстановки этих значений в дифференциальное уравнение (1) оно запишется в виде

Постоянные интегрирования могут быть найдены из начальных условий (${\displaystyle y=0;y'=0}$ при ${\displaystyle x=0}$).

---