Теорема Лёвенгейма — Скулема

---

Теоремы Лёвенгейма — Скулема — несколько теорем теории моделей, утверждающих существование моделей разных мощностей для теорий первого порядка. Различаются следующие теоремы:

Для отличия первых трёх теорем от последней теоремы используется также название теорема Лёвенгейма — Скулема о понижении мощности. Оно может использоваться как для сильного варианта^[3], так и для слабого ^[5]. Теорему Лёвенгейма — Скулема о повышении мощности также иногда называют теоремой Лёвенгейма — Скулема — Мальцева'.

Это утверждение впервые сформулировано и доказано в работе Леопольда Лёвенгейма 1915 года. То, насколько доказательство Лёвенгельма корректно и какую именно версию слабую или сильную оно доказывает — дискуссионный вопрос. Общепринятое доказательство сильной версии теоремы было получено Туральфом Скулемом в 1920 году, слабой версии — в 1922 году.^[6]

Данная теорема не требует аксиомы выбора и может быть доказана в ZF.^[7] Её можно доказать при помощи обычного доказательства Хенкина существования модели, наблюдая за мощностью получаемой модели и следя за тем, чтобы нигде не использовалась аксиома выбора.

Стоит понимать, что в приведённой формулировке под словом модель понимается не обязательно нормальная модель. Нормальной счётной модели у такой теории может не быть. К примеру, если в теории есть теорема ${\displaystyle \forall x\ \forall y\ x=y}$, то любая её модель будет иметь мощность ${\displaystyle 1}$. Для нормальных моделей слабая теорема Лёвенгейма — Скулема модифицируется так:

Эта версия теоремы также может быть доказана в ZF; для её доказательства достаточно взять счётную модель из утверждения выше и факторизовать её по отношению равенства.

---