Стресс-функции

В линейной упругости уравнения, описывающие деформацию упругого тела, подверженного только поверхностным силам (& / или объемным силам, которые могут быть выражены как потенциалы) на границе, являются (с использованием обозначения индекса ) уравнением равновесия:

${\ displaystyle \ sigma _ {ij, i} = 0 \,}$

где - тензор напряжений , и уравнения совместимости Бельтрами-Мичелла:${\ displaystyle \ sigma}$

${\displaystyle \sigma _{ij,kk}+{\frac {1}{1+\nu }}\sigma _{kk,ij}=0}$

Общее решение этих уравнений может быть выражено через тензор напряжений Бельтрами . Функции напряжения выводятся как частные случаи этого тензора напряжений Бельтрами, который, хотя и менее общий, иногда дает более удобный метод решения уравнений упругости.

Функции напряжения Бельтрами [ править ]

Можно показать ^[1], что полное решение уравнений равновесия можно записать как

${\displaystyle \sigma =\nabla \times \Phi \times \nabla }$

Использование обозначения индекса:

${\displaystyle \sigma _{ij}=\varepsilon _{ikm}\varepsilon _{jln}\Phi _{kl,mn}}$

Инженерная нотация
${\displaystyle \sigma _{x}={\frac {\partial ^{2}\Phi _{yy}}{\partial z\partial z}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi _{zz}}{\partial y\partial y}}-2{\frac {\partial ^{2}\Phi _{yz}}{\partial y\partial z}}}$		${\displaystyle \sigma _{xy}=-{\frac {\partial ^{2}\Phi _{xy}}{\partial z\partial z}}-{\frac {\partial ^{2}\Phi _{zz}}{\partial x\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi _{yz}}{\partial x\partial z}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi _{zx}}{\partial y\partial z}}}$
${\displaystyle \sigma _{y}={\frac {\partial ^{2}\Phi _{xx}}{\partial z\partial z}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi _{zz}}{\partial x\partial x}}-2{\frac {\partial ^{2}\Phi _{zx}}{\partial z\partial x}}}$		${\displaystyle \sigma _{yz}=-{\frac {\partial ^{2}\Phi _{yz}}{\partial x\partial x}}-{\frac {\partial ^{2}\Phi _{xx}}{\partial y\partial z}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi _{zx}}{\partial y\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi _{xy}}{\partial z\partial x}}}$
${\displaystyle \sigma _{z}={\frac {\partial ^{2}\Phi _{yy}}{\partial x\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi _{xx}}{\partial y\partial y}}-2{\frac {\partial ^{2}\Phi _{xy}}{\partial x\partial y}}}$		${\displaystyle \sigma _{zx}=-{\frac {\partial ^{2}\Phi _{zx}}{\partial y\partial y}}-{\frac {\partial ^{2}\Phi _{yy}}{\partial z\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi _{xy}}{\partial z\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi _{yz}}{\partial x\partial y}}}$

где - произвольное тензорное поле второго ранга, которое является по крайней мере дважды дифференцируемым, и известно как тензор напряжений Бельтрами . ^[1] Его компоненты известны как функции напряжения Бельтрами . - псевдотензор Леви-Чивиты , все значения которого равны нулю, кроме тех, в которых индексы не повторяются. Для набора неповторяющихся индексов значение компонента будет +1 для четных перестановок индексов и -1 для нечетных перестановок. И есть оператор Набла . Для того чтобы тензор напряжений Бельтрами удовлетворял уравнениям совместимости Бельтрами-Мичелла в дополнение к уравнениям равновесия, дополнительно требуется, чтобы${\displaystyle \Phi _{mn}}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle \Phi _{mn}}$ не менее четырех раз непрерывно дифференцируемо.

Функции напряжения Максвелла [ править ]

Функции напряжений Максвелла определяются в предположении, что тензор напряжений Бельтрами ограничен формой. ^[2]${\displaystyle \Phi _{mn}}$

${\displaystyle \Phi _{ij}={\begin{bmatrix}A&0&0\\0&B&0\\0&0&C\end{bmatrix}}}$

Тензор напряжений, который автоматически подчиняется уравнению равновесия, теперь может быть записан как: ^[2]

${\displaystyle \sigma _{x}={\frac {\partial ^{2}B}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}C}{\partial y^{2}}}}$		${\displaystyle \sigma _{yz}=-{\frac {\partial ^{2}A}{\partial y\partial z}}}$
${\displaystyle \sigma _{y}={\frac {\partial ^{2}C}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A}{\partial z^{2}}}}$		${\displaystyle \sigma _{zx}=-{\frac {\partial ^{2}B}{\partial z\partial x}}}$
${\displaystyle \sigma _{z}={\frac {\partial ^{2}A}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}B}{\partial x^{2}}}}$		${\displaystyle \sigma _{xy}=-{\frac {\partial ^{2}C}{\partial x\partial y}}}$

Решение проблемы упругости теперь состоит в нахождении трех функций напряжения, которые дают тензор напряжения, который подчиняется уравнениям совместимости Бельтрами – Мичелла для напряжения. Подстановка выражений для напряжений в уравнения Бельтрами-Мичелла дает выражение проблемы упругости в терминах функций напряжения: ^[3]

Эта статья требует внимания эксперта по уравнениям . Пожалуйста , добавьте причину в или разговоре параметр для этого шаблона , чтобы объяснить проблему с статьей. WikiProject Equation может помочь нанять эксперта. ( Июнь 2010 г. )

${\displaystyle \nabla ^{4}A+\nabla ^{4}B+\nabla ^{4}C=3\left({\frac {\partial ^{2}A}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}B}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}C}{\partial z^{2}}}\right)/(2-\nu ),}$

Они также должны давать тензор напряжений, который подчиняется указанным граничным условиям.

Функция стресса Эйри [ править ]

Функция напряжения Эйри - это частный случай функций напряжения Максвелла, в котором предполагается, что A = B = 0, а C является функцией только x и y. ^[2] Таким образом, эта функция напряжения может использоваться только для двумерных задач. В литературе по упругости функция напряжения обычно представлена ​​как, а напряжения выражаются как${\displaystyle C}$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \sigma _{x}={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}~;~~\sigma _{y}={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}~;~~\sigma _{xy}=-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x\partial y}}-(f_{x}y+f_{y}x)}$

Где и - значения телесных сил в соответствующем направлении.${\displaystyle f_{x}}$${\displaystyle f_{y}}$

В полярных координатах это выражения:

${\displaystyle \sigma _{rr}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \varphi }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \theta ^{2}}}~;~~\sigma _{\theta \theta }={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial r^{2}}}~;~~\sigma _{r\theta }=\sigma _{\theta r}=-{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \theta }}\right)}$

Функции стресса Морера [ править ]

Функции напряжений Морера определяются в предположении, что тензор тензора напряжений Бельтрами ограничен формой ^[2]${\displaystyle \Phi _{mn}}$

${\displaystyle \Phi _{ij}={\begin{bmatrix}0&C&B\\C&0&A\\B&A&0\end{bmatrix}}}$

Решение проблемы упругости теперь состоит в нахождении трех функций напряжения, которые дают тензор напряжения, который подчиняется уравнениям совместимости Бельтрами-Мичелла. Подстановка выражений для напряжений в уравнения Бельтрами-Мичелла дает выражение проблемы упругости в терминах функций напряжения: ^[4]

${\displaystyle \sigma _{x}=-2{\frac {\partial ^{2}A}{\partial y\partial z}}}$		${\displaystyle \sigma _{yz}=-{\frac {\partial ^{2}A}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}B}{\partial y\partial x}}+{\frac {\partial ^{2}C}{\partial z\partial x}}}$
${\displaystyle \sigma _{y}=-2{\frac {\partial ^{2}B}{\partial z\partial x}}}$		${\displaystyle \sigma _{zx}=-{\frac {\partial ^{2}B}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}C}{\partial z\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}A}{\partial x\partial y}}}$
${\displaystyle \sigma _{z}=-2{\frac {\partial ^{2}C}{\partial x\partial y}}}$		${\displaystyle \sigma _{xy}=-{\frac {\partial ^{2}C}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A}{\partial x\partial z}}+{\frac {\partial ^{2}B}{\partial y\partial z}}}$

Функция напряжения Прандтля [ править ]

Функция напряжения Прандтля - это частный случай функций напряжения Морера, в котором предполагается, что A = B = 0, а C является функцией только x и y. ^[4]

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Садд, Мартин Х. (2005). Эластичность - теория, приложения и числа . Нью-Йорк: Эльзевьер Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 0-12-605811-3. OCLC  162576656 .
• Кнопки, RJ (1958). «Об изменении коэффициента Пуассона при решении упругих задач» . Ежеквартальный журнал механики и прикладной математики . Издательство Оксфордского университета. 11 (3): 326–350. DOI : 10.1093 / qjmam / 11.3.326 .

См. Также [ править ]

• Упругость (физика)
• Модуль упругости
• Теория бесконечно малых деформаций
• Линейная эластичность
• Механика твердого тела
• Стресс (механика)