Колокольный треугольник
В математике треугольник Белла — это треугольник чисел, аналогичный треугольнику Паскаля , значения которого подсчитывают части множества, в котором данный элемент является наибольшим одноэлементным . Он назван в честь его тесной связи с числами Белла , [1] которые можно найти на обеих сторонах треугольника и которые, в свою очередь, названы в честь Эрика Темпла Белла . Треугольник Белла был открыт независимо несколькими авторами, начиная с Чарльза Сандерса Пирса ( 1880 г. ) и включая также Александра Эйткена ( 1933 г. ) и Кона и др. (1962), и по этой причине его также называют массивом Эйткена или треугольником Пирса . [2]
Разные источники дают один и тот же треугольник в разных ориентациях, некоторые перевернуты друг относительно друга. [3] В формате, аналогичном треугольнику Паскаля, и в порядке, указанном в онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей , его первые несколько строк таковы: [2]
Треугольник Белла можно построить, поставив цифру 1 на его первую позицию. После этого размещения самое левое значение в каждой строке треугольника заполняется путем копирования самого правого значения в предыдущей строке. Остальные позиции в каждой строке заполняются по правилу, очень похожему на правило для треугольника Паскаля : они представляют собой сумму двух значений слева и сверху слева от позиции.
Таким образом, после первоначального размещения числа 1 в верхней строке оно является последней позицией в своей строке и копируется в крайнее левое положение в следующей строке. Третье значение в треугольнике, 2, представляет собой сумму двух предыдущих значений сверху и слева от него. Как последнее значение в своей строке, 2 копируется в третью строку, и процесс продолжается таким же образом.
Сами числа Белла в левой и правой сторонах треугольника подсчитывают количество способов разбиения конечного множества на подмножества или, что то же самое, количество отношений эквивалентности в множестве.Sun & Wu (2011) предлагают следующую комбинаторную интерпретацию каждого значения в треугольнике. Следуя Sun и Wu, пусть A n,k обозначает значение, которое находится на k позициях слева в n -й строке треугольника с вершиной треугольника, пронумерованной как A 1,1 . Затем A n,k подсчитывает количество разбиений множества {1, 2, ..., n + 1}, в котором элемент k + 1 является единственным элементом своего набора, а каждый элемент с более высоким номером находится в наборе из более чем одного элемента. То есть k + 1 должен быть наибольшим синглтоном раздела.
Например, число 3 в середине третьей строки треугольника будет помечено в их обозначениях как A 3,2 и подсчитывает количество разделов {1, 2, 3, 4}, в которых 3 равно самый большой одноэлементный элемент. Таких разделов три:
