В алгебре теорема Амицура – Левицки утверждает, что алгебра матриц n на n удовлетворяет некоторому тождеству степени 2 n . Это было доказано Амицуром и Левицким ( 1950 ). В частности, кольца матриц являются полиномиальными тождественными кольцами , у которых наименьшая единица, которой они удовлетворяют, имеет степень точно 2 n .
Заявление
Стандартный многочлен степени п является
в некоммутативных переменных x 1 , ..., x n , где сумма берется по всем n ! элементы симметрической группы S n .
Теорема Амицура – Левицки утверждает, что для n на n матриц A 1 , ..., A 2 n тогда
Доказательства
Амицур и Левицки ( 1950 ) дали первое доказательство.
Костант (1958) вывел теорему Амицура – Левицки из теоремы Кошуля – Самельсона о примитивных когомологиях алгебр Ли.
Свон (1963) и Свон (1969) дали следующее простое комбинаторное доказательство. По линейности достаточно доказать теорему, когда каждая матрица имеет только один ненулевой элемент, который равен 1. В этом случае каждую матрицу можно закодировать как ориентированное ребро графа с n вершинами. Таким образом, все матрицы вместе дают граф на n вершинах с 2 n направленными ребрами. Тождество выполняется при условии, что для любых двух вершин A и B графа количество нечетных эйлеровых путей из A в B совпадает с количеством четных. (Здесь путь называется нечетным или четным в зависимости от того, являются ли его ребра, взятые по порядку, дают нечетную или четную перестановку 2 n ребер.) Свон показал, что это было так, если количество ребер в графе не менее 2 n. , тем самым доказывая теорему Амицура – Левицки.
Размыслов (1974) дал доказательство, связанное с теоремой Кэли – Гамильтона .
Россет (1976) дал краткое доказательство, используя внешнюю алгебру векторного пространства размерности 2 n .
Procesi (2013) дал другое доказательство, показывающее, что теорема Амицура – Левицки является тождеством Кэли – Гамильтона для типичной матрицы Грассмана.
Рекомендации
- Амицур, АС ; Левицкого, Якоб (1950), "Минимальные тождества для алгебр" (PDF) , Труды Американского математического общества , 1 (4): 449-463, DOI : 10,1090 / S0002-9939-1950-0036751-9 , ISSN 0002- 9939 , JSTOR 2032312 , Руководство по ремонту 0036751
- Амицур, АС; Левицкого, Якоба (1951), "Замечания о минимальных тождеств для алгебр" (PDF) , Труды Американского математического общества , 2 (2): 320-327, DOI : 10,2307 / 2032509 , ISSN 0002-9939 , JSTOR 2032509
- Formanek, E. (2001) [1994], "Теорема Амицура – Левицки" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Форманек, Эдвард (1991), Полиномиальные тождества и инварианты матриц размера n × n , Серия региональных конференций по математике, 78 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 0-8218-0730-7, Zbl 0714,16001
- Костант, Бертрам (1958), "Теорема Фробениуса, теорема Амицура – Левицкого и теория когомологий", J. Math. Мех. , 7 (2): 237-264, DOI : 10,1512 / iumj.1958.7.07019 , МР 0092755
- Размыслов Ю. П. (1974), "Тождества со следом в полных матричных алгебрах над полем характеристики нуль", Математика СССР-Известия , 8 (4): 727, DOI : 10.1070 / IM1974v008n04ABEH002126 , ISSN 0373-2436 , MR 0506414
- Россет, Шмуэль (1976), "Новое доказательство идентичности Амицур-Левицкий", Израиль Журнал математики , 23 (2): 187-188, DOI : 10.1007 / BF02756797 , ISSN 0021-2172 , MR 0401804 , S2CID 121625182
- Лебедь, Ричард Г. (1963), "Применение теории графов к алгебре" (PDF) , Труды Американского математического общества , 14 (3): 367-373, DOI : 10,2307 / 2033801 , ISSN 0002-9939 , JSTOR 2033801 , Руководство по ремонту 0149468
- Лебедь, Ричард Г. (1969), "Исправление к "Применение теории графов к алгебре " " (PDF) , Труды Американского математического общества , 21 (2): 379-380, DOI : 10,2307 / 2037008 , ISSN 0002 -9939 , JSTOR 2037008 , Руководство по ремонту 0255439
- Прочези, Клаудио (2013), О теореме Амицура - Левицки , arXiv : 1308.2421 , Bibcode : 2013arXiv1308.2421P