В математике теорема о кольце (ранее называемая гипотезой о кольце ) примерно утверждает, что область между двумя сферами с хорошим поведением является кольцом . Это тесно связано с гипотезой о стабильном гомеоморфизме (теперь доказанной), которая утверждает, что всякий сохраняющий ориентацию гомеоморфизм евклидова пространства устойчив.
Заявление [ править ]
Если S и T являются топологическими сферами в евклидовом пространстве с S, содержащимся в T , то в общем случае неверно, что область между ними является кольцом из-за существования диких сфер в размерности не менее 3. Таким образом, теорема о кольце необходимо указать, чтобы исключить эти примеры, добавив некоторые условия, обеспечивающие хорошее поведение S и T. Есть несколько способов сделать это.
Теорема кольцевое гласит , что если любой гомеоморфизм ч из R н к себе отображает единичный шар B в его внутренней части , а затем B - ч (внутренняя ( Б )) гомеоморфно кольцевого пространства S п -1 × [0,1].
История доказательства [ править ]
Теорема о кольце тривиальна в размерностях 0 и 1. В размерности 2 она была доказана Радо (1924) , в размерности 3 - Моисе (1952) , в размерности 4 - Куинном (1982) , а в размерности не меньше 5 - Кирби ( 1969) .
Гипотеза стабильного гомеоморфизма [ править ]
Гомеоморфизм R n называется стабильным, если он является произведением гомеоморфизмов, каждый из которых является единицей на некотором непустом открытом множестве. Гипотеза о стабильном гомеоморфизме утверждает, что всякий сохраняющий ориентацию гомеоморфизм R n устойчив. Браун и Глюк (1964) ранее показали, что гипотеза стабильного гомеоморфизма эквивалентна гипотезе о кольце, поэтому она верна.
Ссылки [ править ]
- Браун, Мортон; Глюк, Герман (1964), "Устойчивые структуры на многообразиях II Стабильные многообразия...", Анналы математики , второй серии, 79 : 18-44, DOI : 10,2307 / 1970481 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970482 , МР 0158383
- Эдвардс, Роберт Д. (1984), «Решение гипотезы о 4-мерном кольце (по Фрэнку Куинну)», Теория четырех многообразий (Дарем, Нью-Хэмпшир, 1982) , Contemp. Math., 35 , Providence, RI: Amer. Математика. . Soc . , С. 211-264, DOI : 10,1090 / conm / 035/780581 , МР 0780581
- Кирби, Robion С. (1969), "Устойчивые гомеоморфзимов и кольцевое пространство гипотеза", Анналы математики , второй серии, 89 : 575-582, DOI : 10,2307 / 1970652 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970652 , МР 0242165
- Моис, Эдвин Е. (1952), "Аффинные структуры в 3-многообразиях В. триангуляции теорема и Hauptvermutung.", Анналы математики , вторая серия, 56 : 96-114, DOI : 10,2307 / 1969769 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1969769 , MR 0048805
- Куинн, Франк (1982), "Концы карт. III. Измерения 4 и 5" , Journal of Differential Geometry , 17 (3): 503–521, ISSN 0022-040X , MR 0679069
- Радо, Т. (1924), "Uber den Begriff der Riemannschen Fläche", Acta Univ. Сегед , 2 : 101–121
