Круги Аполлония
Круги Аполлония представляют собой любой из нескольких наборов кругов, связанных с Аполлонием Пергским , известным греческим геометром . Большинство этих кругов найдено в плоской евклидовой геометрии , но аналоги были определены и на других поверхностях; например, дубликаты на поверхности сферы могут быть определены через стереографическую проекцию .
Окружность обычно определяется как множество точек P на заданном расстоянии r (радиус окружности) от данной точки (центра окружности). Однако существуют и другие эквивалентные определения круга. Аполлоний обнаружил, что окружность может быть определена как множество точек P , имеющих заданное отношение расстояний k = d 1 / d 2 до двух заданных точек (обозначенных A и B на рис. 1). Эти две точки иногда называют фокусами .
Пусть d 1 , d 2 — неравные положительные действительные числа. Пусть C — внутренняя точка деления AB в отношении d 1 : d 2 , а D — внешняя точка деления AB в том же отношении d 1 : d 2 .
Сначала рассмотрим точку на отрезке между и , удовлетворяющую соотношению. По определению
Затем возьмите другую точку на продолженной линии , которая удовлетворяет соотношению. Так
Задача преследования Аполлония заключается в том, чтобы найти, где корабль, выходящий из одной точки A со скоростью v A , перехватит другой корабль, выходящий из другой точки B со скоростью v B . Минимальный перехват двух кораблей осуществляется с помощью прямолинейных траекторий. Если скорости кораблей остаются постоянными, их соотношение скоростей определяется μ. Если оба корабля сталкиваются или встречаются в будущей точке I , то расстояния каждого из них связаны уравнением: [1]
