Асимптотическая теория (статистика)

В статистике : асимптотическая теория или теория большой выборки - это основа для оценки свойств оценок и статистических тестов . В рамках этой структуры часто предполагается, что размер выборки n может расти бесконечно; затем свойства оценок и тестов оцениваются при n → ∞ . На практике оценка предела считается приблизительно действительной и для больших конечных размеров выборки. ^[1]

Обзор [ править ]

Большинство статистических задач начинаются с набора данных размера n . Асимптотическая теория исходит из предположения, что можно (в принципе) продолжать сбор дополнительных данных, таким образом, что размер выборки растет бесконечно, т. Е. N → ∞ . При таком предположении можно получить множество результатов, недоступных для выборок конечного размера. Примером может служить слабый закон больших чисел . Закон гласит, что для последовательности независимых и одинаково распределенных (IID) случайных величин X ₁ , X ₂ ,… , если одно значение извлекается из каждой случайной величины и среднее значение первых n значений вычисляется какX _n , то X _n сходятся по вероятностик среднему значениюE [ X _i ]при n → ∞ . ^[2]

В асимптотической теории стандартный подход - n → ∞ . Для некоторых статистических моделей могут использоваться несколько иные подходы к асимптотике. Например, для панельных данных обычно предполагается, что одно измерение в данных остается фиксированным, тогда как другое измерение растет: T = константа и N → ∞ , или наоборот. ^[2]

Помимо стандартного подхода к асимптотике, существуют другие альтернативные подходы:

• В рамках локальной асимптотической нормальности предполагается, что значение «истинного параметра» в модели незначительно изменяется с n , так что n -я модель соответствует θ _n = θ + h / √ n . Такой подход позволяет исследовать регулярность оценок .
• Когда статистические тесты изучаются на предмет их способности отличать альтернативы, близкие к нулевой гипотезе, это делается в рамках так называемых «локальных альтернатив»: нулевая гипотеза - H ₀ : θ = θ _0, а альтернатива - H ₁ : θ = θ ₀ + h / √ n . Этот подход особенно популярен для тестов на единичный корень .
• Существуют модели, в которых размерность пространства параметров Θ _n медленно увеличивается вместе с n , отражая тот факт, что чем больше имеется наблюдений, тем больше структурных эффектов можно реально включить в модель.
• В оценке ядра плотности и ядро регрессии , дополнительный параметр предполагаются, полосы пропускания часов . В этих моделях обычно считается, что h → 0 при n → ∞ . Тем не менее, скорость сходимости следует выбирать осторожно, обычно h ∝ n ^−1/5 .

Во многих случаях высокоточные результаты для конечных выборок могут быть получены с помощью численных методов (т. Е. Компьютеров); Однако даже в таких случаях может оказаться полезным асимптотический анализ. Этот момент был сделан Смоллом (2010 , §1.4) следующим образом.

Основная цель асимптотического анализа - получить более глубокое качественное понимание количественных инструментов. Выводы асимптотического анализа часто дополняют выводы, которые можно получить численными методами.

Режимы сходимости случайных величин [ править ]

Асимптотические свойства [ править ]

Оценщики [ править ]

Последовательность [ править ]

Последовательность оценок называется непротиворечивой , если она сходится по вероятности к истинному значению оцениваемого параметра:

${\displaystyle {\hat {\theta }}_{n}\ {\xrightarrow {\overset {}{p}}}\ \theta _{0}.}$

То есть, грубо говоря, с бесконечным количеством данных оценщик (формула для генерации оценок) почти наверняка даст правильный результат для оцениваемого параметра. ^[2]

Асимптотическое распределение [ править ]

Если возможно найти последовательности неслучайных констант { a _n } , { b _n } (возможно, в зависимости от значения θ ₀ ) и невырожденное распределение G такие, что

${\displaystyle b_{n}({\hat {\theta }}_{n}-a_{n})\ {\xrightarrow {d}}\ G,}$

то последовательность оценок называется иметь асимптотическое распределение G .${\displaystyle \textstyle {\hat {\theta }}_{n}}$

Чаще всего встречающиеся на практике оценки являются асимптотически нормальными , что означает, что их асимптотическое распределение является нормальным распределением с a _n = θ ₀ , b _n = √ n и G = N (0, V ) :

${\displaystyle {\sqrt {n}}({\hat {\theta }}_{n}-\theta _{0})\ {\xrightarrow {d}}\ {\mathcal {N}}(0,V).}$

Асимптотические доверительные области [ править ]

Асимптотические теоремы [ править ]

• Центральная предельная теорема
• Теорема о непрерывном отображении
• Теорема Гливенко – Кантелли.
• Закон больших чисел
• Закон повторного логарифма
• Теорема Слуцкого
• Дельта-метод

См. Также [ править ]

• Асимптотический анализ
• Точная статистика
• Теория больших отклонений

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]