Уравнение Аврами

Превращение одной фазы из другой за счет роста зародышей, образующихся случайным образом в исходной фазе.

Уравнение Аврами описывает, как твердые тела переходят из одной фазы в другую при постоянной температуре. Он может конкретно описывать кинетику кристаллизации , может применяться в целом к другим фазовым изменениям в материалах, например скорости химических реакций, и даже может иметь значение при анализе экологических систем. ^[1]

Уравнение также известно как уравнение Джонсона – Мела – Аврами – Колмогорова (JMAK). Уравнение было впервые выведено Колмогоровым в 1937 году и популяризировано Мелвином Аврами в серии статей, опубликованных в Journal of Chemical Physics с 1939 по 1941 год. ^[2]^[3]^[4]

Кинетика трансформации [ править ]

В этом разделе не процитировать любые источники . Пожалуйста, помогите улучшить этот раздел , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . ( Май 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Типичный график изотермического преобразования (вверху). Преобразование можно описать с помощью уравнения Аврами в виде графика зависимости ln ln (1 / (1 - Y )) от ln t , в результате чего получается прямая линия.

Часто можно видеть, что трансформации следуют характерному s-образному или сигмоидальному профилю, где скорости трансформации низкие в начале и в конце трансформации, но быстрые между ними.

Первоначально низкая скорость может быть объяснена временем, необходимым для образования и начала роста значительного числа зародышей новой фазы. В течение промежуточного периода преобразование происходит быстро, поскольку зародыши превращаются в частицы и поглощают старую фазу, в то время как зародыши продолжают формироваться в оставшейся исходной фазе .

Когда трансформация приближается к завершению, остается мало непреобразованного материала для дальнейшего зародышеобразования, и производство новых частиц начинает замедляться. Кроме того, ранее сформированные частицы начинают соприкасаться друг с другом, образуя границу, на которой рост прекращается.

Вывод [ править ]

Простейший вывод уравнения Аврами делает ряд важных предположений и упрощений: ^[5]

Зарождение зародышей происходит случайным образом и однородно по всей нетрансформированной части материала.
Скорость роста не зависит от степени трансформации.
Рост происходит с одинаковой скоростью во всех направлениях.

Если эти условия соблюдены, то превращение в будет происходить путем зарождения новых частиц со скоростью на единицу объема, которые со скоростью растут в сферические частицы и прекращают расти только тогда, когда сталкиваются друг с другом. В течение определенного интервала времени зародышеобразование и рост могут происходить только в нетрансформированном материале. Однако проблему легче решить, применив концепцию расширенного объема - объема новой фазы, которая образовалась бы, если бы вся выборка все еще не была преобразована. В течение интервала времени от τ до τ + dτ количество ядер N, которые появляются в образце объема V, будет определяться выражением ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ beta}$ ${\ displaystyle {\ dot {N}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {G}}}$ ${\ Displaystyle 0 <\ тау <т}$

{\ Displaystyle N = В {\ точка {N}} \, д \ тау,}

где - один из двух параметров в этой простой модели: скорость нуклеации в единице объема, которая считается постоянной. Поскольку рост является изотропным, постоянным и не ограничивается ранее преобразованным материалом, каждое ядро вырастет в сферу радиуса , и поэтому расширенный объем из- за зародышей, появляющихся во временном интервале, будет равен ${\ displaystyle {\ dot {N}}}$ ${\ Displaystyle {\ точка {G}} (т- \ тау)}$ ${\ displaystyle \ beta}$

{\ displaystyle dV _ {\ beta} ^ {e} = {\ frac {4 \ pi} {3}} {\ dot {G}} ^ {3} (t- \ tau) ^ {3} V {\ dot {N}} \, d \ tau,}

где - второй из двух параметров в этой простой модели: скорость роста кристалла, которая также считается постоянной. Интегрирование этого уравнения между и даст общий расширенный объем, который появляется во временном интервале: ${\ displaystyle {\ dot {G}}}$ ${\ Displaystyle \ тау = 0}$ ${\ Displaystyle \ тау = т}$

{\ displaystyle V _ {\ beta} ^ {e} = {\ frac {\ pi} {3}} V {\ dot {N}} {\ dot {G}} ^ {3} t ^ {4}.}

Реальна лишь часть этого расширенного объема; некоторая его часть лежит на ранее преобразованном материале и является виртуальной. Поскольку зародышеобразование происходит случайным образом, доля расширенного объема, которая образуется во время каждого реального приращения времени, будет пропорциональна объемной доле нетрансформированного . Таким образом ${\ displaystyle \ alpha}$

{\ displaystyle dV _ {\ beta} = dV _ {\ beta} ^ {e} \ left (1 - {\ frac {V _ {\ beta}} {V}} \ right),}

переставил

{\ displaystyle {\ frac {1} {1-V _ {\ beta} / V}} \, dV _ {\ beta} = dV _ {\ beta} ^ {e},}

и после интеграции:

{\ Displaystyle \ ln (1-Y) = - V _ {\ beta} ^ {e} / V,}

где Y - объемная доля ( ). ${\ displaystyle \ beta}$ ${\ Displaystyle V _ {\ beta} / V}$

Учитывая предыдущие уравнения, это можно свести к более знакомой форме уравнения Аврами (JMAK), которое дает долю преобразованного материала после времени выдержки при заданной температуре:

Y=1-\exp[-K(t)^{n}],

где , и . $K=\pi {\dot {N}}{\dot {G}}^{3}/3$ $n=4$

Это можно переписать как

\ln {\big (}-\ln[1-Y(t)]{\big )}=\ln K+n\ln t,

что позволяет определять константы n и k из графика ln ln (1 / (1 - Y )) от ln t . Если преобразование следующего уравнения Авров, это дает прямую линию с наклоном п и перехватом Ln K .

Окончательный размер кристаллита (домена) [ править ]

Кристаллизация в основном завершается, когда достигаются значения, близкие к 1, что будет при времени кристаллизации, определяемом , поскольку тогда экспоненциальный член в приведенном выше выражении для будет малым. Таким образом, для кристаллизации требуется время порядка. $Y$ $t_{X}$ $Kt_{X}^{n}\sim 1$ $Y$

t_{X}\sim {\frac {1}{\left({\dot {N}}{\dot {G}}^{3}\right)^{1/4}}},

т.е. для кристаллизации требуется время, которое уменьшается на единицу в четвертой степени скорости зародышеобразования на единицу объема , и единицу в три четверти скорости роста . Типичные кристаллиты растут в течение некоторой части времени кристаллизации и поэтому имеют линейный размер , или ${\dot {N}}$ ${\dot {G}}$ $t_{X}$ ${\dot {G}}t_{X}$

{\text{crystallite linear size}}\sim {\dot {G}}t_{X}\sim \left({\frac {\dot {G}}{\dot {N}}}\right)^{1/4},

т.е. четверть степени отношения скорости роста к скорости зародышеобразования в единице объема. Таким образом, размер конечных кристаллов зависит только от этого соотношения в рамках этой модели, и, как и следовало ожидать, высокие скорости роста и низкие скорости зародышеобразования приводят к большим кристаллам. Средний объем кристаллитов порядка этого типичного линейного размера в кубе.

Все это предполагает показатель степени , который подходит для равномерного (гомогенного) зародышеобразования в трех измерениях. Например, тонкие пленки могут быть фактически двумерными, и в этом случае, если зародышеобразование снова будет однородным, показатель степени . В общем, для равномерного зарождения и роста, wgere - это размерность пространства, в котором происходит кристаллизация. $n=4$ $n=3$ $n=D+1$ $D$

Интерпретация констант Аврами [ править ]

Первоначально считалось, что n имеет целочисленное значение от 1 до 4, что отражало характер рассматриваемого преобразования. В приведенном выше выводе, например, можно сказать, что значение 4 имеет вклады от трех измерений роста, а одно представляет постоянную скорость зародышеобразования. Существуют альтернативные производные, где n имеет другое значение. ^[6]

Если ядра сформированы заранее и все присутствуют с самого начала, преобразование происходит только из-за трехмерного роста ядер, и n имеет значение 3.

Интересное состояние возникает, когда зародышеобразование происходит на определенных участках (таких как границы зерен или примеси), которые быстро насыщаются вскоре после начала превращения. Первоначально зарождение может быть случайным и беспрепятственным ростом, что приводит к высоким значениям n (3 или 4). Как только центры зародышеобразования будут израсходованы, образование новых частиц прекратится.

Кроме того, если распределение сайтов зародышеобразования неслучайно, то рост может быть ограничен 1 или 2 измерениями. Насыщение площадок может привести к n значениям 1, 2 или 3 для участков поверхности, кромок и точек соответственно. ^[7]

Ссылки [ править ]

↑ Аврамов, И. (2007). «Кинетика распространения инфекций в сетях». Physica . 379 (2): 615–620. Bibcode : 2007PhyA..379..615A . DOI : 10.1016 / j.physa.2007.02.002 .
^ Аврами, М. (1939). «Кинетика фазового перехода. I. Общая теория». Журнал химической физики . 7 (12): 1103–1112. Bibcode : 1939JChPh ... 7.1103A . DOI : 10.1063 / 1.1750380 .
^ Аврами, М. (1940). "Кинетика фазового перехода. II. Соотношения времени превращения для случайного распределения ядер". Журнал химической физики . 8 (2): 212–224. Bibcode : 1940JChPh ... 8..212A . DOI : 10.1063 / 1.1750631 .
^ Аврами, М. (1941). «Кинетика фазового перехода. III. Гранулирование, фазовый переход и микроструктура». Журнал химической физики . 9 (2): 177–184. Bibcode : 1941JChPh ... 9..177A . DOI : 10.1063 / 1.1750872 .
^ AK Jena, MC Chaturvedi (1992). Фазовые превращения в материалах . Прентис Холл. п. 243. ISBN. 0-13-663055-3.CS1 maint: uses authors parameter (link)
^ AK Jena, MC Chaturvedi (1992). Фазовые превращения в материалах . Прентис Холл. п. 247. ISBN. 0-13-663055-3.CS1 maint: uses authors parameter (link)
^ JW Кан (1956). «Кинетика превращения при непрерывном охлаждении». Acta Metallurgica . 4 (6): 572–575. DOI : 10.1016 / 0001-6160 (56) 90158-4 .

Внешние ссылки [ править ]

Сборник химической терминологии ИЮПАК 2-е изд. («Золотая книга») , Оксфорд (1997)

[1] Аврамов, И. (2007). «Кинетика распространения инфекций в сетях». Physica . 379 (2): 615–620. Bibcode : 2007PhyA..379..615A . DOI : 10.1016 / j.physa.2007.02.002 .

[2] Аврами, М. (1939). «Кинетика фазового перехода. I. Общая теория». Журнал химической физики . 7 (12): 1103–1112. Bibcode : 1939JChPh ... 7.1103A . DOI : 10.1063 / 1.1750380 .

[3] Аврами, М. (1940). "Кинетика фазового перехода. II. Соотношения времени превращения для случайного распределения ядер". Журнал химической физики . 8 (2): 212–224. Bibcode : 1940JChPh ... 8..212A . DOI : 10.1063 / 1.1750631 .

[4] Аврами, М. (1941). «Кинетика фазового перехода. III. Гранулирование, фазовый переход и микроструктура». Журнал химической физики . 9 (2): 177–184. Bibcode : 1941JChPh ... 9..177A . DOI : 10.1063 / 1.1750872 .

[5] AK Jena, MC Chaturvedi (1992). Фазовые превращения в материалах . Прентис Холл. п. 243. ISBN. 0-13-663055-3.CS1 maint: uses authors parameter (link)

[6] AK Jena, MC Chaturvedi (1992). Фазовые превращения в материалах . Прентис Холл. п. 247. ISBN. 0-13-663055-3.CS1 maint: uses authors parameter (link)

[7] JW Кан (1956). «Кинетика превращения при непрерывном охлаждении». Acta Metallurgica . 4 (6): 572–575. DOI : 10.1016 / 0001-6160 (56) 90158-4 .

[1]