Преобразование Белинского – Захарова (обратное) - это нелинейное преобразование, которое порождает новые точные решения уравнения поля Эйнштейна для вакуума . Оно было разработано Владимиром Белинским и Владимиром Захаровым в 1978 году. [1] Преобразование Белинского – Захарова является обобщением обратного преобразования рассеяния . Решения, полученные в результате этого преобразования, называются гравитационными солитонами (грависолитонами). Несмотря на то, что термин «солитон» используется для описания гравитационных солитонов, их поведение сильно отличается от других (классических) солитонов. [2]В частности, гравитационные солитоны не сохраняют свою амплитуду и форму во времени, и до июня 2012 г. их общая интерпретация остается неизвестной. Что известно , однако, является то , что большинство черных дыр (и в частности, метрика Шварцшильда и метрика Керра ) являются частными случаями гравитационных солитонов.
Преобразование Белинского – Захарова работает для пространственно-временных интервалов вида
где мы используем соглашение Эйнштейна о суммировании для. Предполагается, что как функция и матрица зависят от координат а также Только. Несмотря на конкретный вид интервала пространства - времени , которая зависит только от двух переменных, она включает в себя большое количество интересных решений специальные случаев, таких как метрики Шварцшильда , в метрике Керра , Эйнштейна-Розена метрики , и многие другие.
В этом случае вакуумное уравнение Эйнштейна разлагается на две системы уравнений для матрицы и функция . Использование координат светового конуса, первое уравнение для матрицы является
где квадратный корень из определителя , а именно
Вторая система уравнений:
Взяв след матричного уравнения для показывает, что на самом деле удовлетворяет волновому уравнению
Рассмотрим линейные операторы определяется
где - вспомогательный комплексный спектральный параметр. Простое вычисление показывает, что, поскольку удовлетворяет волновому уравнению, . Эта пара операторов коммутирует, это пара Лакса .
Суть обратного преобразования рассеяния заключается в переписывании нелинейного уравнения Эйнштейна в виде переопределенной линейной системы уравнений для новой матричной функции. Рассмотрим уравнения Белинского – Захарова:
Оперируя левой частью первого уравнения с а в левой части второго уравнения с и вычитая результаты, левая часть обращается в нуль в результате коммутативности а также . Что касается правой части, короткое вычисление показывает, что она действительно также обращается в нуль именно тогда, когда удовлетворяет нелинейному матричному уравнению Эйнштейна.
Это означает, что переопределенные линейные уравнения Белинского – Захарова разрешимы одновременно в точности, когда решает нелинейное матричное уравнение. Собственно, восстановить легко из матричнозначной функции простым ограничивающим процессом. Принимая предел в уравнениях Белинского-Захарова и умножением на справа дает
Таким образом, решение нелинейной уравнение получается из решения линейного уравнения Белинского – Захарова простым вычислением