В дифференциальной геометрии проблема Бернштейна выглядит следующим образом: если график функции на Rn − 1 является минимальной поверхностью в Rn , следует ли из этого, что функция линейна? Это верно для размерностей n не более 8, но неверно для размерностей n не менее 9. Задача названа в честь Сергея Натановича Бернштейна , решившего случай n = 3 в 1914 году.
Предположим, что f является функцией n − 1 действительной переменной. График f является поверхностью в R n , и условие того, что это минимальная поверхность, состоит в том, что f удовлетворяет уравнению минимальной поверхности
Задача Бернштейна заключается в том, чтобы решить вопрос о том, является ли целая функция (функция, определенная в R n −1 ), которая решает это уравнение, полиномом степени 1.
Бернштейн (1915–1917) доказал теорему Бернштейна о том, что график действительной функции на R 2 , который также является минимальной поверхностью в R 3 , должен быть плоскостью.
Флеминг (1962) дал новое доказательство теоремы Бернштейна, выведя ее из того факта, что в R 3 нет неплоских конусов, минимизирующих площадь .
Де Джорджи (1965) показал, что если в R n −1 нет неплоского минимизирующего площадь конуса , то аналог теоремы Бернштейна верен в R n , что, в частности, означает, что он верен в R 4 .