Группа высшего чау Блоха

В алгебраической геометрии высшие группы Чжоу Блоха , обобщение группы Чжоу , являются предшественником и основным примером мотивных когомологий (для гладких многообразий). Он был введен Спенсером Блохом ( Bloch 1986 ), а основная теория была развита Блохом и Марком Левином .

Точнее говоря, из теоремы Воеводского ^[1] следует: для гладкой схемы X над полем и целыми числами p , q существует естественный изоморфизм

{\ displaystyle \ operatorname {H} ^ {p} (X; \ mathbb {Z} (q)) \ simeq \ operatorname {CH} ^ {q} (X, 2q-p)}

между группами мотивных когомологий и высшими группами Чжоу.

Мотивация

Одна из мотиваций для высших групп Чжоу исходит из теории гомотопий. В частности, если ${\ Displaystyle \ альфа, \ бета \ в Z _ {*} (X)}$ являются алгебраическими циклами в ${\ displaystyle X}$ которые рационально эквивалентны через цикл ${\ displaystyle \ gamma \ in Z _ {*} (X \ times \ Delta ^ {1})}$ , потом ${\ displaystyle \ gamma}$ можно рассматривать как путь между ${\ displaystyle \ alpha}$ и ${\ displaystyle \ beta}$ , а более высокие группы Чоу предназначены для кодирования информации более высокой гомотопической когерентности. Например,

${\ displaystyle {\ text {CH}} ^ {*} (X, 0)}$

можно рассматривать как гомотопические классы циклов, в то время как

${\ displaystyle {\ text {CH}} ^ {*} (X, 1)}$

можно рассматривать как гомотопические классы гомотопий циклов.

Определение

Пусть X - квазипроективная алгебраическая схема над полем («алгебраическая» означает отделенный и конечный тип).

Для каждого целого числа ${\ displaystyle q \ geq 0}$ , определять

{\ displaystyle \ Delta ^ {q} = \ operatorname {Spec} (\ mathbb {Z} [t_ {0}, \ dots, t_ {q}] / (t_ {0} + \ dots + t_ {q} - 1)),}

который является алгебраическим аналогом стандартного q -симплекса. Для каждой последовательности ${\ displaystyle 0 \ leq i_ {1} <i_ {2} <\ cdots <i_ {r} \ leq q}$ , закрытая подсхема ${\ displaystyle t_ {i_ {1}} = t_ {i_ {2}} = \ cdots = t_ {i_ {r}} = 0}$ , который изоморфен ${\ displaystyle \ Delta ^ {qr}}$ , называется лицом ${\ displaystyle \ Delta ^ {q}}$ .

Для каждого i существует вложение

{\ displaystyle \ partial _ {q, i}: \ Delta ^ {q-1} {\ overset {\ sim} {\ to}} \ {t_ {i} = 0 \} \ subset \ Delta ^ {q} .}

Мы пишем ${\ Displaystyle Z_ {я} (Х)}$ для группы алгебраических i -циклов на X и ${\ displaystyle z_ {r} (X, q) \ subset Z_ {r + q} (X \ times \ Delta ^ {q})}$ для подгруппы, порожденной замкнутыми подмногообразиями, должным образом пересекающимися с ${\ Displaystyle X \ раз F}$ для каждой грани F из ${\ displaystyle \ Delta ^ {q}}$ .

С ${\ displaystyle \ partial _ {X, q, i} = \ operatorname {id} _ {X} \ times \ partial _ {q, i}: X \ times \ Delta ^ {q-1} \ hookrightarrow X \ times \ Delta ^ {q}}$ - эффективный дивизор Картье, существует гомоморфизм Гизена :

{\ displaystyle \ partial _ {X, q, i} ^ {*}: z_ {r} (X, q) \ to z_ {r} (X, q-1)}

,

что (по определению) отображает подмногообразие V в пересечение ${\ displaystyle (X \ times \ {t_ {i} = 0 \}) \ cap V.}$

Определите граничный оператор ${\ displaystyle d_ {q} = \ sum _ {i = 0} ^ {q} (- 1) ^ {i} \ partial _ {X, q, i} ^ {*}}$ что дает цепной комплекс

{\ displaystyle \ cdots \ to z_ {r} (X, q) {\ overset {d_ {q}} {\ to}} z_ {r} (X, q-1) {\ overset {d_ {q-1) }} {\ to}} \ cdots {\ overset {d_ {1}} {\ to}} z_ {r} (X, 0).}

Наконец, q -я высшая группа Чжоу X определяется как q -я гомология указанного выше комплекса:

{\ displaystyle \ operatorname {CH} _ {r} (X, q): = \ operatorname {H} _ {q} (z_ {r} (X, \ cdot)).}

(Проще говоря, поскольку ${\ displaystyle z_ {r} (X, \ cdot)}$ естественно является симплициальной абелевой группой, в силу соответствия Дольда – Кана высшие группы Чжоу также могут быть определены как гомотопические группы ${\ displaystyle \ operatorname {CH} _ {r} (X, q): = \ pi _ {q} z_ {r} (X, \ cdot)}$ .)

Например, если ${\ Displaystyle V \ подмножество X \ раз \ треугольник ^ {1}}$ ^[2] - замкнутое подмногообразие такое, что пересечения ${\ Displaystyle V (0), V (\ infty)}$ с лицами ${\ displaystyle 0, \ infty}$ правильные, тогда ${\ Displaystyle d_ {1} (V) = V (0) -V (\ infty)}$ а это значит, по предложению 1.6. в теории пересечений Фултона, что образ ${\ displaystyle d_ {1}}$ является в точности группой циклов, рационально эквивалентной нулю; это,

{\ displaystyle \ operatorname {CH} _ {r} (X, 0) =}

в R -й Чоу группы из X .

Свойства

Функциональность

Правильные карты ${\ displaystyle f: X \ to Y}$ ковариантны между высшими группами чау, в то время как плоские карты контравариантны. Кроме того, когда ${\ displaystyle X}$ гладко, любая карта из ${\ displaystyle X}$ ковариантно.

Гомотопическая инвариантность

Если ${\ displaystyle E \ to X}$ является алгебраическим векторным расслоением, то существует гомотопическая эквивалентность

${\ displaystyle {\ text {CH}} ^ {*} (X, n) \ cong {\ text {CH}} ^ {*} (E, n)}$

Локализация

Учитывая замкнутую равноразмерную подсхему ${\ Displaystyle Y \ подмножество X}$ есть длинная точная последовательность локализации

${\ displaystyle {\ begin {align} \ cdots \\ {\ text {CH}} ^ {* - d} (Y, 2) \ to {\ text {CH}} ^ {*} (X, 2) \ to {\ text {CH}} ^ {*} (U, 2) \ to & \\ {\ text {CH}} ^ {* - d} (Y, 1) \ to {\ text {CH}} ^ {*} (X, 1) \ to {\ text {CH}} ^ {*} (U, 1) \ to & \\ {\ text {CH}} ^ {* - d} (Y, 0) \ в {\ text {CH}} ^ {*} (X, 0) \ в {\ text {CH}} ^ {*} (U, 0) \ в & {\ text {}} 0 \ end {выровнено} }}$

куда ${\ Displaystyle U = XY}$ . В частности, это показывает, что высшие группы чау естественным образом расширяют точную последовательность групп чау.

Теорема локализации

( Bloch 1994 ) показал, что при открытом подмножестве ${\ Displaystyle U \ подмножество X}$ , для ${\ Displaystyle Y = XU}$ ,

{\ Displaystyle Z (Икс, \ cdot) / Z (Y, \ cdot) \ к Z (U, \ cdot)}

является гомотопической эквивалентностью. В частности, если ${\ displaystyle Y}$ имеет чистую коразмерность, то он дает длинную точную последовательность для высших групп Чжоу (называемую последовательностью локализации).

Ссылки

^ Конспект лекций по мотивам когомологий (PDF) . Монографии по глиняной математике. п. 159.
^ Здесь мы определяем ${\ Displaystyle \ треугольник ^ {1}}$ с подсхемой ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {1}}$ а затем, без ограничения общности, предположим, что одна вершина является началом 0, а другая - ∞.

С. Блох, « Алгебраические циклы и выше К-теории ,» Adv. Математика. 61 (1986), 267–304.
Блох С. Лемма о подвижности для высших групп Чжоу // Журн. 3, 537–568 (1994)
Питер Хейн, Обзор мотивационной когомологии
Владмир Воеводский, «Группы мотивационных когомологий изоморфны высшим группам Чжоу по любой характеристике», Международные заметки о математических исследованиях 7 (2002), 351–355.

[1] Конспект лекций по мотивам когомологий (PDF) . Монографии по глиняной математике. п. 159.

[2] Здесь мы определяем ${\ Displaystyle \ треугольник ^ {1}}$ с подсхемой ${\ Displaystyle \ mathbb {P} ^ {1}}$ а затем, без ограничения общности, предположим, что одна вершина является началом 0, а другая - ∞.

[1]