В строительных техниках , то модель Bouc-Wen гистерезиса является одним из наиболее часто используемых гистерезисных моделей [1] [2] , как правило , используется для описания нелинейных гистерезисных систем. Он был введен Робертом Буком [3] [4] и расширен И-Квей Веном, [5]которые продемонстрировали его универсальность, создав разнообразные гистерезисные узоры. Эта модель способна фиксировать в аналитической форме ряд форм гистерезисных циклов, соответствующих поведению широкого класса гистерезисных систем. Модель Боука – Вена завоевала популярность благодаря своей универсальности и математической управляемости. Он был расширен и применен к широкому кругу инженерных задач, включая системы с несколькими степенями свободы (MDOF), здания, рамы, двунаправленный и крутильный отклик гистерезисных систем, двух- и трехмерные континуумы, разжижение грунта и базовая изоляциясистемы. Модель Бука – Вена, ее варианты и расширения использовались в структурном контроле, в частности, при моделировании поведения магнитореологических демпферов, устройств изоляции основания для зданий и других типов демпфирующих устройств . Он также использовался при моделировании и анализе конструкций, построенных из железобетона , стали , кирпичной кладки и дерева.
Формулировка модели
Рассмотрим уравнение движения системы с одной степенью свободы (sdof):
( Уравнение 1 )
здесь, представляет собой массу, это смещение, коэффициент линейного вязкого демпфирования, восстанавливающая сила и сила возбуждения, а точка обозначает производную по времени.
Согласно модели Бука – Вена восстанавливающая сила выражается как:
( Уравнение 2 )
где это отношение пост-урожайности к предварительному уступу (эластичный) жесткость, сила текучести, смещение доходности, и ненаблюдаемый гистерезисный параметр (обычно называемый гистерезисным смещением ), который подчиняется следующему нелинейному дифференциальному уравнению с нулевым начальным условием (), имеющий размеры длины:
( Уравнение 3 )
или просто как:
( Уравнение 4 )
где обозначает сигнум- функцию, а, , а также безразмерные величины, управляющие поведением модели (восстанавливает упругопластический гистерезис). Учтите, что в оригинальной статье Вена (1976), [5] называется , а также называется . В настоящее время обозначения меняются от бумаги к бумаге, и очень часто места а также обмениваются. Здесь реализованы обозначения, использованные Song J. и Der Kiureghian A. (2006) [6] . Восстанавливающая сила можно разложить на эластичную и гистерезисную части следующим образом:
( Уравнение 5 )
а также
( Уравнение 6 )
поэтому возвращающую силу можно представить как две параллельно соединенные пружины.
При малых значениях положительного экспоненциального параметра переход от упругой к постэластичной ветви плавный, а при больших значениях переход резкий. Параметры, а также контролировать размер и форму петли гистерезиса. Было обнаружено [7], что параметры модели Боука – Вена функционально избыточны. Лучше всего удалить эту избыточность, установив.
Вен [5] принял целочисленные значения для; однако все реальные положительные значениядопустимы. Параметр положительна по предположению, а допустимые значения для , это , может быть получено из термодинамического анализа (Бабер и Вен (1981) [8] ).
Определения
Некоторые термины определены ниже:
- Смягчение : наклон петли гистерезиса уменьшается с перемещением
- Упрочнение : наклон петли гистерезиса увеличивается с перемещением
- Петли гистерезиса : более тонкие петли в середине, чем на концах. Сдавливание - это внезапная потеря жесткости, в первую очередь вызванная повреждением и взаимодействием компонентов конструкции при большой деформации. Это вызвано закрытием (или незакрытием) трещин и податливостью сжатой арматуры перед закрытием трещин в железобетонных элементах, проскальзыванием болтовых соединений (в стальных конструкциях) и расшатыванием и проскальзыванием соединений из-за предыдущих циклических нагрузок в деревянных конструкциях с помощью дюбеля. крепежные детали (например, гвозди и болты).
- Снижение жесткости : постепенная потеря жесткости в каждом цикле нагружения.
- Снижение прочности : Снижение прочности при циклической нагрузке до одного и того же уровня смещения. Термин «снижение прочности» несколько вводит в заблуждение, поскольку снижение прочности можно смоделировать только в том случае, если смещение является входной функцией.
Поглощенная гистерезисная энергия
Поглощенная гистерезисная энергия представляет собой энергию, рассеиваемую гистерезисной системой, и количественно определяется как площадь гистерезисной силы при полном смещении; следовательно, поглощенная гистерезисная энергия (на единицу массы ) может быть определена количественно как
( Ур.7 )
это,
( Уравнение 8 )
здесь - квадрат псевдособственной частоты нелинейной системы; единицы этой энергии.
Рассеяние энергии является хорошей мерой совокупного ущерба при обращении напряжения; он отражает историю загрузки и параллелен процессу развития повреждений. В модели Бука – Вена – Бабера – Нури эта энергия используется для количественной оценки деградации системы.
Модификации оригинальной модели Bouc – Wen
Модель Бука – Вена – Бабера – Нури
Важная модификация исходной модели Боука – Вена была предложена Бабером и Веном (1981) [8] и Бабером и Нури (1985, 1986). [9] [10]
Эта модификация включала эффекты деградации прочности, жесткости и защемления посредством подходящих функций деградации:
( Ур.9 )
где параметры , а также связаны (соответственно) с эффектами деградации прочности, жесткости и защемления. В, а также определяются как линейно возрастающие функции поглощенной гистерезисной энергии :
( Ур. 10а )
( Уравнение 10b )
( Уравнение 10c )
Функция защемления указывается как:
( Уравнение 11 )
где:
( Ур. 12а )
( Ур. 12b )
а также это высшая ценность , данный
( Уравнение 13 )
Обратите внимание, что в модель включены следующие новые параметры: , , , , , , , , , а также . Когда, или же в модели не учитывается ухудшение прочности, ухудшение жесткости или эффект защемления.
Foliente (1993) [11] и Heine (2001) [12] слегка изменили функцию сжатия, чтобы смоделировать систему провисания. Примером системы провисания является деревянная конструкция, в которой смещение происходит с кажущейся нулевой жесткостью, поскольку болт конструкции вдавливается в древесину.
Обобщение с двумя степенями свободы
Рассмотрим систему с двумя степенями свободы, подверженную двумерным возбуждениям. Его уравнение движения определяется следующим образом:
где а также подставка для матрицы массы и демпфирования, а также смещения, а также возбуждения и а также - восстанавливающие силы, действующие в двух ортогональных (перпендикулярных) направлениях, которые задаются
где - исходная матрица жесткости, - отношение жесткости после выхода к деформации (упругой) и а также представляют собой гистерезисные смещения.
Используя это обобщение с двумя степенями свободы, Park et al. (1986) [13] представили гистерезисное поведение системы следующим образом:
( Ур. 14а )
( Уравнение 14b )
Эта модель подходит, например, для воспроизведения геометрически-линейного несвязанного поведения двухосно нагруженной железобетонной колонны . Такие программы, как ETABS и SAP2000, используют эту формулировку для моделирования базовых изоляторов .
Wang и Wen (2000) [14] попытались расширить модель Park et al. (1986) [13], чтобы включить случаи с различной остротой «колена» (т. Е.). Однако при этом предложенная модель больше не была вращательно-инвариантной (изотропной). Харви и Гэвин (2014) [15] предложили альтернативное обобщение модели Парк-Вена [13], которое сохраняло изотропию и по-прежнему учитывало, а именно.
( Уравнение 14c )
( Уравнение 14d )
Учтите, что при замене переменных: , , , , уравнения Ур. 14 сводятся к одноосному гистерезисному соотношению Ур. 3 с, это,
()
поскольку это уравнение справедливо для любого значения гистерезисное восстанавливающее смещение изотропно.
Модификация Ванга и Вэня
Ван и Вен (1998) [16] предложили следующее выражение для учета асимметричной пиковой восстанавливающей силы :
( Уравнение 15 )
где - дополнительный параметр, который предстоит определить.
Асимметричный гистерезис
Асимметричные гистеретические кривые появляются из-за асимметрии механических свойств испытываемого элемента, заданного циклического движения или того и другого. Song and Der Kiureghian (2006) [6] предложили следующую функцию для моделирования этих асимметричных кривых:
( Уравнение 16 )
где:
( Уравнение 17a )
а также
( Уравнение 17b )
где , шесть параметров, которые необходимо определить в процессе идентификации. Однако, согласно Ikhouane et al. (2008), [17] коэффициенты, а также должен быть установлен на ноль. Aloisio et al. (2020) [18] расширили формулировку, представленную Song and Der Kiureghian (2006) [6], чтобы воспроизвести явления защемления и деградации. Два дополнительных параметра а также приводят к защемленным путям нагрузки, а восемь коэффициентов определяют деградацию прочности и жесткости.
Расчет отклика на основе хронологии возбуждения
В экспериментах с контролируемым смещением временная история смещения и его производная известны; следовательно, расчет гистерезисной переменной и возвращающей силы выполняется непосредственно с использованием уравнений Eq. 2 и уравнение. 3 .
В силовых контролируемых экспериментов , уравнение. 1 , уравнение. 2 и уравнение. 4 можно преобразовать в форму пространства состояний , используя замену переменных, , а также в виде:
( Уравнение 18 )
и решается с использованием, например, метода предиктора-корректора Ливермора, методов Розенброка или метода Рунге – Кутты 4-го / 5-го порядков . Последний метод более эффективен с точки зрения вычислительного времени; другие медленнее, но дают более точный ответ.
Форма в пространстве состояний модели Бука – Вена – Бабера – Нури определяется следующим образом:
( Уравнение 19 )
Это жесткое обыкновенное дифференциальное уравнение, которое можно решить, например, с помощью функции ode15 из MATLAB .
Согласно Heine (2001), [12] время вычислений для решения модели и численного шума значительно сокращается, если и сила, и смещение имеют одинаковый порядок величины; например, единицы измерения кН и мм являются хорошим выбором.
Аналитический расчет гистерезисного отклика
Гистерезис, создаваемый моделью Бука – Вена, не зависит от скорости. Уравнение 4 можно записать как:
( Ур.20 )
где в пределах Функция служит только индикатором направления движения. Неопределенный интеграл уравнения (19) можно аналитически выразить через гипергеометрическую функцию Гаусса . С учетом начальных условий имеет место соотношение [19]
( Уравнение 21 )
где, считается постоянной для исследуемого перехода (не обязательно малого), а также , - начальные значения смещения и гистерезисного параметра соответственно. Уравнение 20 решается аналитически для для конкретных значений экспоненциального параметра , т.е. для а также . [19] Для произвольных значений, Уравнение 20 может быть эффективно решено с использованием, например, методов типа деления пополам, таких как метод Брента . [19]
Ограничения параметров и идентификация
Параметры модели Бука – Вена имеют следующие границы , , , , , , , .
Как отмечалось выше, Ma et al. (2004) [7] доказали, что параметры модели Боука – Вена функционально избыточны; то есть существует несколько векторов параметров, которые производят идентичный отклик от данного возбуждения. Лучше всего удалить эту избыточность, установив.
Константину и Аднан (1987) [20] предложили наложить ограничение чтобы свести модель к формулировке с четко определенными свойствами.
Принимая эти ограничения, неизвестные параметры становятся: , , , а также .
Определение параметров модели с использованием экспериментальных входных и выходных данных может быть выполнено с помощью методов идентификации системы . Предлагаемые в литературе процедуры включают:
- Оптимизация на основе метода наименьших квадратов (с использованием методов Гаусса – Ньютона, эволюционных алгоритмов, генетических алгоритмов и т. Д.); в этом случае разница ошибок между временными историями или между кратковременными преобразованиями Фурье сигналов сводится к минимуму.
- Расширенный фильтр Калмана , недушистый фильтр Калмана , фильтры частиц
- Дифференциальная эволюция
- Генетические алгоритмы
- Оптимизация роя частиц
- Адаптивные законы
- Гибридные методы [21]
После применения метода идентификации для настройки параметров модели Боука – Вена полученная модель считается хорошей аппроксимацией истинного гистерезиса, когда ошибка между экспериментальными данными и выходными данными модели достаточно мала (с практической точки зрения). ).
Критика
Гистерезисная модель Бука – Вена подверглась некоторой критике за ее способность точно описывать явление гистерезиса в материалах. Ikhouane и Rodellar (2005) [22] дают некоторое представление о поведении модели Бука – Вена и предоставляют доказательства того, что отклик модели Бука – Вена при периодическом вводе является асимптотически периодическим.
Харалампакис и Кумусис (2009) [23] предлагают модификацию модели Боука-Вена для устранения дрейфа смещения, релаксации сил и размыкания петель гистерезиса, когда материал подвергается коротким путям перегрузки разгрузки, что приводит к локальному нарушению постулата Друкера или Ильюшина о том, что пластичность.
Рекомендации
- ^ Vaiana, Николо; Сесса, Сальваторе; Мармо, Франческо; Розати, Лучано (август 2018). «Класс одноосных феноменологических моделей для моделирования гистерезисных явлений в механических системах и материалах, не зависящих от скорости» . Нелинейная динамика . 93 (3): 1647–1669. DOI : 10.1007 / s11071-018-4282-2 . ISSN 0924-090X .
- ^ Вайана, Николо; Сесса, Сальваторе; Розати, Лучано (январь 2021 г.). «Обобщенный класс одноосных независимых от скорости моделей для моделирования явлений асимметричного механического гистерезиса» . Механические системы и обработка сигналов . 146 : 106984. дои : 10.1016 / j.ymssp.2020.106984 .
- ^ Бук, Р. (1967). «Вынужденная вибрация механических систем с гистерезисом». Труды Четвертой конференции по нелинейным колебаниям . Прага, Чехословакия. п. 315.
- ^ Бук, Р. (1971). «Математическая модель гистерезиса: применение дополнительных систем в степени свободы». Акустика (на французском). 24 : 16–25.
- ^ а б в Вэнь, Ю.К. (1976). «Метод случайных колебаний гистерезисных систем». Журнал инженерной механики . Американское общество инженеров-строителей . 102 (2): 249–263.
- ^ a b c Сонг Дж. и Дер Кюрегян А. (2006) Обобщенная модель Бука – Вена для сильно асимметричного гистерезиса. Журнал инженерной механики. ASCE. Том 132, № 6 с. 610–618
- ^ a b Ма Ф., Чжан Х., Бокштедте А., Фолиенте Г.С. и Паевере П. (2004). Параметрический анализ дифференциальной модели гистерезиса. Журнал прикладной механики ASME, 71, стр. 342–349.
- ^ a b Бабер Т.Т. и Вен Ю.К. (1981). Случайные колебания гистерезисных деградирующих систем. Журнал инженерной механики. ASCE. 107 (EM6), стр. 1069–1089
- ^ Бабер TT и Noori MN (1985). Случайная вибрация деградирующих зажимных систем. Журнал инженерной механики. ASCE. 111 (8) с. 1010–1026.
- ^ Бабер TT и Noori MN (1986). Моделирование общего поведения гистерезиса и случайных вибраций. Журнал вибрации, акустики, напряжений и надежности в проектировании. 108 (4) с. 411–420
- ^ ГХ Foliente (1993). Стохастический динамический отклик деревянных конструктивных систем. Кандидатская диссертация. Политехнический институт Вирджинии и Государственный университет. Блэксбург, Вирджиния
- ^ а б К. П. Гейне (2001). Смоделированная реакция деградирующих гистерезисных соединений с провисанием. Кандидатская диссертация. Политехнический институт Вирджинии и Государственный университет. Блэксбург, Вирджиния URL: http://hdl.handle.net/10919/28576/
- ^ a b c Пак YJ, Ang AHS и Wen YK (1986). Случайная вибрация гистерезисных систем при двунаправленных движениях грунта. Структурная динамика сейсмической инженерии , 14, 543–557
- Перейти ↑ Wang CH и Wen YK (2000). Оценка малоэтажных стальных зданий до Нортриджа I: Моделирование. Журнал структурной инженерии 126: 1160–1168. DOI: 10.1061 / (ASCE) 0733-9445 (2000) 126: 10 (1160)
- ^ Харви PS младший и Гэвин HP (2014). Истинно изотропный двухосный гистерезис с произвольной остротой изгиба. Землетрясение и структурная динамика 43, 2051–2057. DOI : 10.1002 / eqe.2436
- ^ Wang CH и Wen YK (1998) Надежность и избыточность малоэтажного стального здания до Нортриджа при сейсмическом воздействии. Отв. № УИЛУ-ЭНГ-99-2002, Унив. Иллинойс в Урбана-Шампейн, Шампейн, Иллинойс.
- ^ Ихкуан Ф., Посо Ф. и Ачо Л. Обсуждение обобщенной модели Бука-Вена для сильно асимметричного гистерезиса Джунхо Сонг и Армен Дер Кюрегян. Журнал инженерной механики. ASCE. Май 2008. С. 438–439.
- ^ Aloisio А. и Alaggio Р. и К {\ "о} hler J. и Fragiacomo М. Расширение обобщенного Bouc-Wen Гистерезис Моделирования древесины суставов и структурные системы. Журнал инженерной механики. ASCE. Январь 2020. стр.
- ^ а б в Charalampakis, AE; Кумусис, ВК (2008). «Об отклике и диссипируемой энергии гистерезисной модели Бука – Вена». Журнал звука и вибрации . 309 (3–5): 887–895. Bibcode : 2008JSV ... 309..887C . DOI : 10.1016 / j.jsv.2007.07.080 .
- ^ Константиноу MC и Adnane MA (1987). Динамика изолированных структурных систем грунт-основание: оценка двух моделей для систем податливости. Отчет для NSAF: Департамент гражданского строительства, Университет Дрексель, Филадельфия, Пенсильвания
- ^ Charalampakis, AE; Кумусис, ВК (2008). «Идентификация гистерезисных систем Бука – Вена с помощью гибридного эволюционного алгоритма». Журнал звука и вибрации . 314 (3–5): 571–585. Bibcode : 2008JSV ... 314..571C . DOI : 10.1016 / j.jsv.2008.01.018 .
- ^ Ikhouane, F .; Роделлар, Дж. (2005). «О гистерезисной модели Бука – Вена». Нелинейная динамика . 42 : 63–78. DOI : 10.1007 / s11071-005-0069-3 .
- ^ Charalampakis, AE; Кумусис, ВК (2009). «Модель Бука – Вена, совместимая с постулатами пластичности». Журнал звука и вибрации . 322 (4–5): 954–968. Bibcode : 2009JSV ... 322..954C . DOI : 10.1016 / j.jsv.2008.11.017 .
дальнейшее чтение
- Ихуане, Файсал; Роделлар, Хосе (2007). Системы с гистерезисным анализом, идентификацией и контролем с использованием модели Бук-Вена . Чичестер: Джон Уайли и сыновья. ISBN 9780470513194.