Гистерезисная модель

Гистерезисные модели являются математическими моделями , способными моделировать сложное нелинейное поведение , характеризующее механические системы и материалы , используемые в различных областях техники, такие как аэрокосмическая , гражданские и механическая инженерия . Некоторые примеры механических систем и материалов, имеющих гистерезисное поведение:

• материалы, такие как сталь , железобетон , дерево ;
• конструктивные элементы, такие как стыки из стали, железобетона или дерева;
• устройства, такие как сейсмические изоляторы ^[1] и демпферы.

Гистерезисные модели могут иметь обобщенное смещение в качестве входной переменной и обобщенную силу в качестве выходной переменной или наоборот. В частности, в гистерезисных моделях, не зависящих от скорости, выходная переменная не зависит от скорости изменения входной. ^{[2] [3]}${\ displaystyle u}$${\ displaystyle f}$

Гистерезисные модели, не зависящие от скорости, можно разделить на четыре разные категории в зависимости от типа уравнения, которое необходимо решить для вычисления выходной переменной:

• Алгебраические модели;
• Трансцендентальные модели;
• Дифференциальные модели;
• Интегральные модели.

Алгебраические модели [ править ]

В алгебраических моделях выходная переменная вычисляется путем решения алгебраических уравнений .

Билинейная модель [ править ]

Формулировка модели [ править ]

В билинейной модели, сформулированной Vaiana et al. (2018), ^[4] обобщенная сила в момент времени t , представляющая выходную переменную, оценивается как функция обобщенного смещения следующим образом:

${\ displaystyle f_ {t} = k_ {a} \ left (u_ {t} -u_ {j} \ right) + k_ {b} u_ {j} + s_ {t} f_ {0} \ quad {\ text {когда}} \ quad u_ {t} s_ {t} <u_ {j} s_ {t},}$

${\displaystyle f_{t}=k_{b}u_{t}+s_{t}f_{0}\quad {\text{when}}\quad u_{t}s_{t}>u_{j}s_{t},}$

где и - три параметра модели, которые должны быть откалиброваны на основе экспериментальных или численных испытаний, тогда как - знак обобщенной скорости во времени , то есть . Кроме того, это внутренний параметр модели, оцениваемый как:${\displaystyle k_{a},k_{b},}$${\displaystyle f_{0}}$${\displaystyle s_{t}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle s_{t}=\operatorname {sign} ({\dot {u}}_{t})}$${\displaystyle u_{0}}$

${\displaystyle u_{0}={\frac {f_{0}}{k_{a}-k_{b}}},}$

тогда как внутренняя переменная:${\displaystyle u_{j}}$

${\displaystyle u_{j}={\frac {k_{a}u_{t-\Delta t}+s_{t}f_{0}-f_{t-\Delta t}}{k_{a}-k_{b}}}}$.

Формы петли гистерезиса [ править ]

На рисунке 1.1 показаны две различные формы петли гистерезиса, полученные путем применения синусоидального обобщенного смещения, имеющего единичную амплитуду и частоту, и смоделированного путем принятия параметров билинейной модели (BM), перечисленных в таблице 1.1.

Таблица 1.1 - Параметры БМ

	${\displaystyle k_{a}}$	${\displaystyle k_{b}}$	${\displaystyle f_{0}}$
а)	10.0	1.0	0,5
(б)	10.0	-1,0	0,5

Код Matlab [ править ]

% ================================================= ========================================% Июнь 2020% Алгоритм билинейной модели% Николо Вайана, научный сотрудник в области структурной механики и динамики, доктор философии % Департамент строительства и архитектуры % Неаполитанский университет имени Федерико II% через Клаудио, 21 - 80124, Неаполь% ================================================= ========================================clc ; очистить все ; закрыть все ;    %% ИСТОРИЯ ПРИЛОЖЕННОГО ВРЕМЕНИ СМЕЩЕНИЯdt = 0,001 ; %шаг времени   t = 0 : dt : 1,50 ; %интервал времени   а0 = 1 ; % приложенной амплитуды смещения   fr = 1 ; % применяемой частоты смещения   u = a0 * sin (( 2 * pi * fr ) * t ( 1 : длина ( t ))); % приложенного вектора смещения   v = 2 * пи * фр * а0 * соз (( 2 * пи * фр ) * т ( 1 : длина ( т ))); % приложенного вектора скорости   n = длина ( u ); % приложенной длины вектора смещения   %% 1. НАЧАЛЬНЫЕ НАСТРОЙКИ% 1.1 Установите три параметра моделиka = 10,0 ; % параметр модели   kb = 1.0 ; % параметр модели   f0 = 0,5 ; % параметр модели   % 1.2 Вычислить внутренние параметры модели u0 = f0 / ( ka - kb ); % внутренний параметр модели   % 1.3 Инициализировать вектор обобщенной силыf = нули ( 1 , n );  %% 2. РАСЧЕТЫ НА КАЖДОМ ШАГЕдля i = 2 : n   % 2.1 Обновить переменную историиuj = ( ka * u ( i - 1 ) + sign ( v ( i )) * f0 - f ( i - 1 )) / ( ka - kb );  % 2.2 Оцените обобщенную силу в момент времени tif ( sign ( v ( i )) * uj ) - 2 * u0 < sign ( v ( i )) * u ( i ) && sign ( v ( i )) * u ( i ) < sign ( v ( i )) * uj        f ( i ) = ka * ( u ( i ) - uj ) + kb * uj + знак ( v ( i )) * f0 ;  еще f ( i ) = kb * u ( i ) + sign ( v ( i )) * f0 ;  конецконец%% УЧАСТОКфигураplot ( u , f , 'k' , 'linewidth' , 4 )set ( gca , ' Размер шрифта ' , 28 )set ( gca , 'FontName' , 'Times New Roman' )xlabel ( 'обобщенное смещение' ), ylabel ( 'обобщенная сила' ) сеткаувеличить выкл 

Асимметричная билинейная модель [ править ]

Формулировка модели [ править ]

В асимметричной билинейной модели, сформулированной Vaiana et al. (2020), ^[3] обобщенная сила в момент времени t , представляющая выходную переменную, оценивается как функция обобщенного смещения следующим образом:

${\displaystyle f_{t}=k_{a}\left(u_{t}-u_{j}\right)+k_{b}u_{j}+s_{t}f_{0}\quad {\text{when}}\quad u_{t}s_{t}<u_{j}s_{t},}$

${\displaystyle f_{t}=k_{b}u_{t}+s_{t}f_{0}\quad {\text{when}}\quad u_{t}s_{t}>u_{j}s_{t},}$

где и - три модельных параметра для общего случая нагружения (разгрузки), которые должны быть откалиброваны на основе экспериментальных или численных испытаний, тогда как - знак обобщенной скорости во времени , то есть . Кроме того, это внутренний параметр модели, оцениваемый как:${\displaystyle k_{a}=k_{a}^{+}(k_{a}^{-}),k_{b}=k_{b}^{+}(k_{b}^{-}),}$${\displaystyle f_{0}=f_{0}^{+}(f_{0}^{-})}$${\displaystyle s_{t}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle s_{t}=\operatorname {sign} ({\dot {u}}_{t})}$${\displaystyle u_{0}}$

${\displaystyle u_{0}={\frac {(k_{b}^{+}-k_{b}^{-})u_{j}+f_{0}^{+}+f_{0}^{-}}{2(k_{a}^{+}-k_{b}^{-})}}\quad {\Biggl (}{\displaystyle {\frac {(k_{b}^{+}-k_{b}^{-})u_{j}+f_{0}^{+}+f_{0}^{-}}{2(k_{a}^{-}-k_{b}^{+})}}}{\Biggr )}\quad {\text{when}}\quad s_{t}>0\quad (s_{t}<0),}$

тогда как внутренняя переменная:${\displaystyle u_{j}}$

${\displaystyle u_{j}={\frac {k_{a}^{+}u_{t-\Delta t}+s_{t}f_{0}^{+}-f_{t-\Delta t}}{k_{a}^{+}-k_{b}^{+}}}\quad {\Biggl (}{\displaystyle {\frac {k_{a}^{-}u_{t-\Delta t}+s_{t}f_{0}^{-}-f_{t-\Delta t}}{k_{a}^{-}-k_{b}^{-}}}}{\Biggr )}\quad {\text{when}}\quad s_{t}>0\quad (s_{t}<0).}$

Код Matlab [ править ]

% ================================================= ========================================% Февраль 2021 г.% Асимметричный алгоритм билинейной модели% Николо Вайана, научный сотрудник в области структурной механики и динамики, доктор философии % Департамент строительства и архитектуры % Неаполитанский университет имени Федерико II% через Клаудио, 21 - 80124, Неаполь% ================================================= ========================================clc ; очистить все ; закрыть все ;    %% ИСТОРИЯ ПРИЛОЖЕННОГО ВРЕМЕНИ СМЕЩЕНИЯdt = 0,001 ; %шаг времени   t = 0 : dt : 1,50 ; %интервал времени   а0 = 1 ; % приложенной амплитуды смещения   fr = 1 ; % применяемой частоты смещения   u = a0 * sin (( 2 * pi * fr ) * t ( 1 : длина ( t ))); % приложенного вектора смещения   v = 2 * пи * фр * а0 * соз (( 2 * пи * фр ) * т ( 1 : длина ( т ))); % приложенного вектора скорости   n = длина ( u ); % приложенной длины вектора смещения   %% 1. НАЧАЛЬНЫЕ НАСТРОЙКИ% 1.1 Установите шесть параметров моделикап = 5,0 ; % параметр модели   kbp = 0,5 ; % параметр модели   f0p = 0,75 ; % параметр модели   кам = 15,0 ; % параметр модели   kbm = 0,1 ; % параметр модели   f0m = 0,25 ; % параметр модели   % 1.2 Инициализировать вектор обобщенной силыf = нули ( 1 , n );  %% 2. РАСЧЕТЫ НА КАЖДОМ ШАГЕдля i = 2 : n   % 2.1 Обновите параметры модели, переменную истории и внутренний параметр моделиесли v ( i ) > 0  ка = кап ; kb = kbp ; f0 = f0p ;        еще ка = кам ; kb = kbm ; f0 = f0m ;        конецuj = ( ka * u ( i - 1 ) + sign ( v ( i )) * f0 - f ( i - 1 )) / ( ka - kb );  если v ( i ) > 0  и0 = (( т.п.н. - KBM ) * Uj + f0p + f0m ) / ( 2 * ( кап - KBM ));  еще и0 = (( т.п.н. - KBM ) * Uj + f0p + f0m ) / ( 2 * ( Kam - т.п.н. ));  конец% 2.2 Оцените обобщенную силу в момент времени tif ( sign ( v ( i )) * uj ) - 2 * u0 < sign ( v ( i )) * u ( i ) && sign ( v ( i )) * u ( i ) < sign ( v ( i )) * uj        f ( i ) = ka * ( u ( i ) - uj ) + kb * uj + знак ( v ( i )) * f0 ;  еще f ( i ) = kb * u ( i ) + sign ( v ( i )) * f0 ;  конецконец%% УЧАСТОКфигураplot ( u , f , 'k' , 'linewidth' , 4 )set ( gca , ' Размер шрифта ' , 28 )set ( gca , 'FontName' , 'Times New Roman' )xlabel ( 'обобщенное смещение' ), ylabel ( 'обобщенная сила' ) сеткаувеличить выкл 

Анимация [ править ]

На следующем гифке показан нелинейный отклик механической системы с одной степенью свободы (SDOF) с единичной массой и асимметричным гистерезисным поведением, не зависящим от скорости, на воздействие внешней случайной силы. Для того, чтобы смоделировать свой ответ, были использованы следующие параметры ABM: .${\displaystyle k_{a}^{+}=50\,\,(k_{a}^{-}=50),k_{b}^{+}=10\,\,(k_{b}^{-}=1),f_{0}^{+}=1\,\,(f_{0}^{-}=2)}$

Алгебраическая модель Vaiana et al. (2019) [ править ]

Формулировка модели [ править ]

В алгебраической модели, разработанной Vaiana et al. (2019), ^[5] обобщенная сила в момент времени , представляющая выходную переменную, оценивается как функция обобщенного смещения следующим образом:${\displaystyle t}$

${\displaystyle f_{t}=\beta _{1}u_{t}^{3}+\beta _{2}u_{t}^{5}+k_{b}u_{t}+\left(k_{a}-k_{b}\right)\left[{\frac {(1+s_{t}u_{t}-s_{t}u_{j}+2u_{0})^{1-\alpha }}{s_{t}(1-\alpha )}}-{\frac {(1+2u_{0})^{1-\alpha }}{s_{t}(1-\alpha )}}\right]+s_{t}f_{0}\quad {\text{when}}\quad u_{t}s_{t}<u_{j}s_{t},}$

${\displaystyle f_{t}=\beta _{1}u_{t}^{3}+\beta _{2}u_{t}^{5}+k_{b}u_{t}+s_{t}f_{0}\quad {\text{when}}\quad u_{t}s_{t}>u_{j}s_{t},}$

где , и - пять параметров модели, которые должны быть откалиброваны на основе экспериментальных или численных испытаний, тогда как - знак обобщенной скорости во времени , то есть ,. Кроме того, и являются двумя внутренними параметрами модели, оцениваемыми как:${\displaystyle k_{a},k_{b},\alpha }$${\displaystyle \beta _{1}}$${\displaystyle \beta _{2}}$${\displaystyle s_{t}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle s_{t}=\operatorname {sign} ({\dot {u}}_{t})}$${\displaystyle u_{0}}$${\displaystyle f_{0}}$

${\displaystyle u_{0}={\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {k_{a}-k_{b}}{10^{-20}}}\right)^{1/\alpha }-1\right],}$

${\displaystyle f_{0}={\frac {k_{a}-k_{b}}{2}}\left[{\frac {\left(1+2u_{0}\right)^{1-\alpha }-1}{1-\alpha }}\right],}$

тогда как внутренняя переменная:${\displaystyle u_{j}}$

${\displaystyle u_{j}=u_{t-\Delta t}+s_{t}(1+2u_{0})-s_{t}\left\lbrace {\frac {s_{t}(1-\alpha )}{k_{a}-k_{b}}}\left[f_{t-\Delta t}-\beta _{1}u_{t-\Delta t}^{3}-\beta _{2}u_{t-\Delta t}^{5}-k_{b}u_{t-\Delta t}-s_{t}f_{0}+(k_{a}-k_{b}){\frac {(1+2u_{0})^{1-\alpha }}{s_{t}(1-\alpha )}}\right]\right\rbrace ^{1/(1-\alpha )}.}$

Формы петли гистерезиса [ править ]

На рисунке 1.2 показаны четыре различные формы петли гистерезиса, полученные путем применения синусоидального обобщенного смещения, имеющего единичную амплитуду и частоту и смоделированного путем принятия параметров алгебраической модели (AM), перечисленных в таблице 1.2.

Таблица 1.2 - Параметры AM

	${\displaystyle k_{a}}$	${\displaystyle k_{b}}$	${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle \beta _{1}}$	${\displaystyle \beta _{2}}$
а)	10.0	1.0	10.0	0,0	0,0
(б)	10.0	1.0	10.0	0,2	0,2
(c)	10.0	1.0	10.0	-0,2	-0,2
(г)	10.0	1.0	10.0	−1,2	1.2

Код Matlab [ править ]

% ================================================= ========================================% Сентябрь 2019 г.% Алгоритм алгебраической модели% Николо Вайана, научный сотрудник, доктор философии % Департамент строительства и архитектуры % Неаполитанский университет имени Федерико II% через Клаудио, 21 - 80125, Неаполь% ================================================= ========================================clc ; очистить все ; закрыть все ;    %% ИСТОРИЯ ПРИЛОЖЕННОГО ВРЕМЕНИ СМЕЩЕНИЯdt = 0,001 ; %шаг времени   t = 0 : dt : 1,50 ; %интервал времени   а0 = 1 ; % приложенной амплитуды смещения   fr = 1 ; % применяемой частоты смещения   u = a0 * sin (( 2 * pi * fr ) * t ( 1 : длина ( t ))); % приложенного вектора смещения   v = 2 * пи * фр * а0 * соз (( 2 * пи * фр ) * т ( 1 : длина ( т ))); % приложенного вектора скорости   n = длина ( u ); % приложенной длины вектора смещения   %% 1. НАЧАЛЬНЫЕ НАСТРОЙКИ% 1.1 Установите пять параметров моделиka = 10,0 ; % параметр модели   kb = 1.0 ; % параметр модели   альфа = 10,0 ; % параметр модели   бета1 = 0,0 ; % параметр модели   бета2 = 0,0 ; % параметр модели   % 1.2 Вычислить внутренние параметры модели u0 = ( 1 / 2 ) * (((( ка - кб ) / 10 ^ - 20 ) ^ ( 1 / альфа )) - 1 ); % внутренний параметр модели   f0 = (( ka - kb ) / 2 ) * (((( 1 + 2 * u0 ) ^ ( 1 - alfa )) - 1 ) / ( 1 - alfa )); % внутренний параметр модели   % 1.3 Инициализировать вектор обобщенной силыf = нули ( 1 , n );   %% 2. РАСЧЕТЫ НА КАЖДОМ ШАГЕдля i = 2 : n   % 2.1 Обновить переменную историиuj = u ( i - 1 ) + sign ( v ( i )) * ( 1 + 2 * u0 ) - sign ( v ( i )) * (((( sign ( v ( i )) * ( 1 - alfa )) ) / ( ка - kb )) * ( f ( i - 1 ) -  beta1 * u ( i - 1 ) ^ 3 - beta2 * u ( i - 1 ) ^ 5 - kb * u ( i - 1 ) - sign ( v ( i )) * f0 + ( ka - kb ) * ((( 1 + 2 * u0 ) ^ ( 1 - альфа ))/ ( знак ( v ( i )) * ( 1 - альфа ))))) ^ ( 1 / ( 1 - альфа )));% 2.2 Оцените обобщенную силу в момент времени tif ( sign ( v ( i )) * uj ) - 2 * u0 < sign ( v ( i )) * u ( i ) || знак ( v ( i )) * u ( i ) < sign ( v ( i )) * uj        f ( i ) = beta1 * u ( i ) ^ 3 + beta2 * u ( i ) ^ 5 + kb * u ( i ) + ( ka - kb ) * (((( 1 + 2 * u0 + знак ( v ( i )) * ( u ( i ) - uj )) ^  ( 1 - альфа )) / ( знак ( v ( i )) * ( 1 - альфа ))) - ((( 1 + 2 * u0 ) ^ ( 1 - альфа )) / ( знак ( v ( i )) * ( 1 - альфа )))) + знак ( v ( i )) * f0 ;еще f ( i ) = beta1 * u ( i ) ^ 3 + beta2 * u ( i ) ^ 5 + kb * u ( i ) + sign ( v ( i )) * f0 ;  конецконец%% УЧАСТОКфигураplot ( u , f , 'k' , 'linewidth' , 4 )    set ( gca , ' Размер шрифта ' , 28 )  set ( gca , 'FontName' , 'Times New Roman' )  xlabel ( 'обобщенное смещение' ), ylabel ( 'обобщенная сила' ) сеткаувеличить выкл 

Трансцендентальные модели [ править ]

В трансцендентных моделях выходная переменная вычисляется путем решения трансцендентных уравнений , а именно уравнений, включающих тригонометрические , обратные тригонометрические , экспоненциальные , логарифмические и / или гиперболические функции.

Экспоненциальные модели [ править ]

Экспоненциальная модель Vaiana et al. (2018) [ править ]

Формулировка модели [ править ]

В экспоненциальной модели, разработанной Vaiana et al. (2018), ^[4] обобщенная сила во время , представляющая выходную переменную, оценивается как функция обобщенного смещения следующим образом:${\displaystyle t}$

${\displaystyle f_{t}=-2\beta u_{t}+e^{\beta u_{t}}-e^{-\beta u_{t}}+k_{b}u_{t}-s_{t}{\frac {k_{a}-k_{b}}{\alpha }}\left[e^{-\alpha (u_{t}s_{t}-u_{j}s_{t}+2u_{0})}-e^{-2\alpha u_{0}}\right]+f_{0}s_{t}\quad {\text{when}}\quad u_{t}s_{t}<u_{j}s_{t},}$

${\displaystyle f_{t}=-2\beta u_{t}+e^{\beta u_{t}}-e^{-\beta u_{t}}+k_{b}u_{t}+f_{0}s_{t}\quad {\text{when}}\quad u_{t}s_{t}>u_{j}s_{t},}$

где и - четыре параметра модели, которые должны быть откалиброваны на основе экспериментальных или численных испытаний, тогда как - знак обобщенной скорости во времени , то есть . Кроме того, и являются двумя внутренними параметрами модели, оцениваемыми как:${\displaystyle k_{a},k_{b},\alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle s_{t}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle s_{t}=\operatorname {sign} ({\dot {u}}_{t})}$${\displaystyle u_{0}}$${\displaystyle f_{0}}$

${\displaystyle u_{0}=-{\frac {1}{2\alpha }}\ln \left({\frac {10^{-20}}{k_{a}-k_{b}}}\right),}$

${\displaystyle f_{0}={\frac {k_{a}-k_{b}}{2\alpha }}\left(1-e^{-2\alpha u_{0}}\right),}$

тогда как внутренняя переменная:${\displaystyle u_{j}}$

${\displaystyle u_{j}=u_{t-\Delta t}+2u_{0}s_{t}+{\frac {s_{t}}{\alpha }}\ln \left[{\frac {\alpha s_{t}}{k_{a}-k_{b}}}\left(-2\beta u_{t-\Delta t}+e^{\beta u_{t-\Delta t}}-e^{-\beta u_{t-\Delta t}}+k_{b}u_{t-\Delta t}+{\frac {k_{a}-k_{b}}{\alpha }}s_{t}e^{-2\alpha u_{0}}+f_{0}s_{t}-f_{t-\Delta t}\right)\right].}$

Формы петли гистерезиса [ править ]

На рисунке 2.1 показаны четыре различных формы петли гистерезиса, полученные путем применения синусоидального обобщенного смещения с единичной амплитудой и частотой и смоделированного с помощью параметров экспоненциальной модели (EM), перечисленных в таблице 2.1.

Таблица 2.1 - Параметры ЭМ

	${\displaystyle k_{a}}$	${\displaystyle k_{b}}$	${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle \beta }$
а)	5.0	0,5	5.0	0,0
(б)	5.0	−0,5	5.0	0,0
(c)	5.0	0,5	5.0	1.0
(г)	5.0	0,5	5.0	−1,0

Код Matlab [ править ]

% ================================================= ========================================% Сентябрь 2019 г.% Алгоритм экспоненциальной модели% Николо Вайана, научный сотрудник, доктор философии % Департамент строительства и архитектуры % Неаполитанский университет имени Федерико II% через Клаудио, 21 - 80125, Неаполь% ================================================= ========================================clc ; очистить все ; закрыть все ;    %% ИСТОРИЯ ПРИЛОЖЕННОГО ВРЕМЕНИ СМЕЩЕНИЯdt = 0,001 ; %шаг времени   t = 0 : dt : 1,50 ; %интервал времени   а0 = 1 ; % приложенной амплитуды смещения   fr = 1 ; % применяемой частоты смещения   u = a0 * sin (( 2 * pi * fr ) * t ( 1 : длина ( t ))); % приложенного вектора смещения   v = 2 * пи * фр * а0 * соз (( 2 * пи * фр ) * т ( 1 : длина ( т ))); % приложенного вектора скорости   n = длина ( u ); % приложенной длины вектора смещения   %% 1. НАЧАЛЬНЫЕ НАСТРОЙКИ% 1.1 Установите четыре параметра моделиka = 5,0 ; % параметр модели   kb = 0,5 ; % параметр модели   альфа = 5,0 ; % параметр модели   бета = 1.0 ; % параметр модели   % 1.2 Вычислить внутренние параметры модели u0 = - ( 1 / ( 2 * alfa )) * log ( 10 ^ - 20 / ( ka - kb )); % внутренний параметр модели   f0 = (( ka - kb ) / ( 2 * alfa )) * ( 1 - exp ( - 2 * alfa * u0 )); % внутренний параметр модели   % 1.3 Инициализировать вектор обобщенной силыf = нули ( 1 , n );   %% 2. РАСЧЕТЫ НА КАЖДОМ ШАГЕдля i = 2 : n   % 2.1 Обновить переменную историиuj = u ( i - 1 ) + 2 * u0 * sign ( v ( i )) + sign ( v ( i )) * ( 1 / alfa ) * log ( sign ( v ( i )) * ( alfa / ( ka - кб )) * ( - 2 * бета * и (  i - 1 ) + exp ( beta * u ( i - 1 )) - exp ( - beta * u ( i - 1 )) + kb * u ( i - 1 ) + знак ( v ( i )) * (( ka - kb ) / alfa ) * exp ( - 2 * alfa* u0 ) + sign ( v ( i )) * f0 - f ( i - 1 )));% 2.2 Оцените обобщенную силу в момент времени tif ( sign ( v ( i )) * uj ) - 2 * u0 < sign ( v ( i )) * u ( i ) || знак ( v ( i )) * u ( i ) < sign ( v ( i )) * uj        f ( i ) = - 2 * beta * u ( i ) + exp ( beta * u ( i )) - exp ( - beta * u ( i )) + kb * u ( i ) - знак ( v ( i )) * (( ka - kb ) / alfa ) * ( exp  ( - alfa * ( sign ( v ( i )) * ( u ( i ) - uj ) + 2 * u0 )) - exp ( - 2 * alfa * u0 )) + sign ( v ( i )) * f0 ;еще f ( i ) = - 2 * beta * u ( i ) + exp ( beta * u ( i )) - exp ( - beta * u ( i )) + kb * u ( i ) + знак ( v ( i )) * f0 ;  конецконец%% УЧАСТОКфигураplot ( u , f , 'k' , 'linewidth' , 4 )    set ( gca , ' Размер шрифта ' , 28 )  set ( gca , 'FontName' , 'Times New Roman' )  xlabel ( 'обобщенное смещение' ), ylabel ( 'обобщенная сила' ) сеткаувеличить выкл 

Дифференциальные модели [ править ]

Интегральные модели [ править ]

Ссылки [ править ]