В геометрии , формула Бретшнейдера является следующим выражением для области общего четырехугольника :
Здесь a , b , c , d - стороны четырехугольника, s - полупериметр , а α и γ - два противоположных угла.
Формула Бретшнайдера работает с любым четырехугольником, независимо от того, является он циклическим или нет.
Немецкий математик Карл Антон Бретшнайдер открыл формулу в 1842 году. Формула была также выведена в том же году немецким математиком Карлом Георгом Кристианом фон Штаудтом .
Обозначим площадь четырехугольника по K . Тогда у нас есть
Следовательно
Закон косинусов следует , что
потому что обе стороны равны квадрату длины диагонали BD . Это можно переписать как
Добавление этого к приведенной выше формуле для 4 K 2 дает
Обратите внимание, что: (тригонометрическое тождество верно для всех )
Следуя тем же шагам, что и в формуле Брахмагупты , это можно записать как
Представляем полупериметр
выше становится
а формула Бретшнайдера следует после извлечения квадратного корня из обеих частей:
Формула Бретшнайдера обобщает формулу Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника , которая, в свою очередь, обобщает формулу Герона для площади треугольника .
Тригонометрическая поправка в формуле Бретшнайдера для нецикличности четырехугольника может быть переписана нетригонометрически в терминах сторон и диагоналей e и f, чтобы получить [1] [2]