Теория Бурместера

Теория Burmester включает геометрические методы синтеза связей в конце 19 века. ^[1] Он был введен Людвигом Бурместером (1840–1927). Его подход заключался в том, чтобы вычислить геометрические ограничения рычага непосредственно из желаемого изобретателем движения для плавающего звена. С этой точки зрения четырехзвенное соединение - это плавающее звено, у которого две точки ограничены, чтобы лежать на двух окружностях.

Burmester начал с набора положений, часто называемых позами , для плавающей ссылки, которые рассматриваются как моментальные снимки ограниченного движения этой плавающей ссылки в устройстве, которое должно быть спроектировано. Конструкция кривошипа для рычажного механизма теперь сводится к поиску точки в движущемся плавающем звене, которая при просмотре в каждом из этих указанных положений имеет траекторию, лежащую на окружности. Размер кривошипа - это расстояние от точки плавающего звена, называемой точкой круга, до центра круга, по которому он движется, называемого центральной точкой. ^[2] Два кривошипа, сконструированные таким образом, образуют желаемый четырехзвенный рычажный механизм.

Эта формулировка математического синтеза четырехзвенной связи и решения полученных уравнений известна как теория Бурместера. ^{[3] [4] [5]} Подход был обобщен на синтез сферических и пространственных механизмов. ^[6]

Конечный синтез положения [ править ]

Геометрическая формулировка [ править ]

Теория Бурместера ищет в движущемся теле точки, траектории которых лежат на окружности, называемой точками вращения. Дизайнер аппроксимирует желаемое движение с помощью конечного числа позиций задач; и Burmester показали, что кружки существуют для пяти позиций задач. Чтобы найти эти кружащиеся точки, необходимо решить пять квадратных уравнений с пятью неизвестными, что он и сделал, используя методы начертательной геометрии. Графические конструкции Burmester до сих пор встречаются в учебниках теории машин.

P - полюс смещения A ¹ B ¹ к A ² B ²

Две позиции: В качестве примера рассмотрим задачу, определяемую двумя положениями соединительного звена, как показано на рисунке. Выберите две точки A и B на теле, чтобы их два положения определяли сегменты A ¹ B ¹ и A ² B ² . Легко видеть, что A - точка круга с центром, лежащим на серединном перпендикуляре отрезка A ¹ A ² . Точно так же B - это окружающая точка с центром, который является любой точкой на серединном перпендикуляре к B ¹ B ^2.. Четырехстоечный рычажный механизм может быть построен из любой точки двух перпендикулярных биссектрис в качестве фиксированных шарниров и A и B как движущихся шарниров. Точка P явно особенная, потому что это шарнир, который позволяет чисто вращательное движение от A ¹ B ¹ до A ² B ² . Это называется полюсом относительного смещения.

Три положения: если разработчик указывает три положения задачи, то точки A и B в движущемся теле представляют собой точки по кругу, каждая из которых имеет уникальную центральную точку. Центральная точка для A - это центр круга, который проходит через A ¹ , A ² и A ³ в трех положениях. Точно так же центральная точка для B - это центр круга, который проходит через B ¹ , B ² и B ³ . Таким образом, для трех позиций задач четырехстоечная связь получается для каждой пары точек A и B, выбранных в качестве движущихся точек поворота.

Четыре позиции: Графическое решение задачи синтеза становится более интересным в случае четырех позиций задач, потому что не каждая точка тела является кружком. Четыре позиции задачи дают шесть полюсов относительного смещения, и Бурместер выбрал четыре, чтобы сформировать четырехугольник с противоположным полюсом, который затем использовал для графического построения кривой точки круга ( Kreispunktcurven ). Burmester также показал, что кривая точки круга представляет собой круговую кубическую кривую в движущемся теле.

Пять позиций: для достижения пяти позиций задач Burmester пересекает кривую точек обводки, генерируемую четырехугольником с противоположным полюсом, для набора из четырех из пяти положений задач, с кривой точки обвода, генерируемой четырехугольником с противоположным полюсом для различных наборов из четырех положений задач. . Пять поз подразумевают десять полюсов относительного смещения, что дает четыре различных четырехугольника с противоположными полюсами, каждый из которых имеет свою собственную кривую точек круга. Burmester показывает, что эти кривые будут пересекаться в четырех точках, называемых точками Burmester., каждая из которых начертит пять точек на окружности вокруг центральной точки. Поскольку две точки по кругу определяют связь с четырьмя стержнями, эти четыре точки могут дать до шести связей с четырьмя стержнями, которые направляют связь устройства связи через пять заданных положений.

Алгебраическая формулировка [ править ]

Подход Burmester к синтезу четырехзвенной связи можно сформулировать математически, введя преобразования координат [ T _i ] = [ A _i ,  d _i ], i  = 1, ..., 5, где [ A ] - это 2 × 2, а d - вектор сдвига 2 × 1, которые определяют положения задач движущегося фрейма M, заданные разработчиком. ^[6]

Целью процедуры синтеза является вычисление координат w  = ( w _x ,  w _y ) подвижной оси, прикрепленной к подвижной системе отсчета M, и координат неподвижной оси G  = ( u ,  v ) в неподвижной системе отсчета F, которая обладают тем свойством , что ш перемещается по окружности радиуса R о G . Траектория w определяется пятью позициями задач, такими, что

${\ displaystyle \ mathbf {W} ^ {i} = [T_ {i}] \ mathbf {w} = [A_ {i}] \ mathbf {w} + \ mathbf {d} _ {i}, \ quad i = 1, \ ldots, 5.}$

Таким образом, координаты w и G должны удовлетворять пяти уравнениям:

${\displaystyle (\mathbf {W} ^{i}-\mathbf {G} )\cdot (\mathbf {W} ^{i}-\mathbf {G} )=R^{2},\quad i=1,\ldots ,5.}$

Исключите неизвестный радиус R , вычтя первое уравнение из остальных, чтобы получить четыре квадратных уравнения с четырьмя неизвестными,

${\displaystyle (\mathbf {W} ^{i}-\mathbf {G} )\cdot (\mathbf {W} ^{i}-\mathbf {G} )-(\mathbf {W} ^{1}-\mathbf {G} )\cdot (\mathbf {W} ^{1}-\mathbf {G} )=0,\quad i=2,\ldots ,5.}$

Эти уравнения синтеза можно решить численно для получения координат w  = ( w _x ,  w _y ) и G  = ( u ,  v ), которые определяют местонахождение неподвижных и подвижных шарниров кривошипа, которые могут использоваться как часть четырехзвенного рычага. . Компания Burmester доказала, что таких кривошипов не более четырех, которые можно комбинировать, чтобы получить не более шести четырехзвенных рычагов, которые направляют сцепку через пять заданных положений.

Полезно отметить, что уравнения синтеза можно преобразовать в форму

${\displaystyle (\mathbf {W} ^{i}-\mathbf {W} ^{1})\cdot \left({\frac {\mathbf {W} ^{i}+\mathbf {W} ^{1}}{2}}-\mathbf {G} \right)=0,\quad i=2,\ldots ,5,}$

что является алгебраическим эквивалентом того, что неподвижная ось G лежит на серединных перпендикулярах каждого из четырех отрезков W ⁱ  -  W ¹ , i  = 2, ..., 5.

Синтез ввода-вывода [ править ]

Одно из наиболее распространенных применений четырехзвенного рычага - стержень, который соединяет два рычага , так что вращение первого рычага приводит во вращение второй рычаг. Рычаги шарнирно прикреплены к заземляющей раме и называются входными и выходными кривошипами , а шатун называется соединительным звеном. Подход Burmester к конструкции четырехзвенного рычага можно использовать для размещения муфты таким образом, чтобы пять заданных углов входного кривошипа приводили к пяти заданным углам выходного кривошипа.

Пусть θ _i , i  = 1, ..., 5 - угловые положения входного кривошипа, и пусть ψ _i , i  = 1, ..., 5 - соответствующие углы выходного кривошипа. Для удобства расположите фиксированный шарнир входного кривошипа в начале неподвижной рамы, O  = (0, 0), и пусть фиксированный шарнир выходного кривошипа расположен в точке C  = ( c _x ,  c _y ), что является выбран дизайнером. Неизвестными в этой задаче синтеза являются координаты g  = ( g _x ,  g _y) крепления муфты к входному кривошипу и координаты w  = ( w _x ,  w _y ) крепления к выходному кривошипу, измеренные в их соответствующих системах отсчета.

Хотя координаты точек w и g неизвестны, их траектории в фиксированной системе отсчета задаются выражением

${\displaystyle \mathbf {G} ^{i}=[A(\theta _{i})]\mathbf {g} ,\quad \mathbf {W} ^{i}=[A(\psi _{i})]\mathbf {w} +\mathbf {C} ,\quad i=1,\ldots ,5,}$

где [A (•)] обозначает поворот на заданный угол.

Координаты w и g должны удовлетворять пяти уравнениям связи:

${\displaystyle (\mathbf {W} ^{i}-\mathbf {G} ^{i})\cdot (\mathbf {W} ^{i}-\mathbf {G} ^{i})=R^{2},\quad i=1,\ldots ,5.}$

Исключите неизвестную длину соединителя R , вычтя первое уравнение из остальных, чтобы получить четыре квадратных уравнения с четырьмя неизвестными,

${\displaystyle (\mathbf {W} ^{i}-\mathbf {G} ^{i})\cdot (\mathbf {W} ^{i}-\mathbf {G} ^{i})-(\mathbf {W} ^{1}-\mathbf {G} ^{1})\cdot (\mathbf {W} ^{1}-\mathbf {G} ^{1})=0,\quad i=2,\ldots ,5.}$

Эти уравнения синтеза можно решить численно, чтобы получить координаты w  = ( w _x ,  w _y ) и g  = ( g _x ,  g _y ), которые определяют местонахождение соединительной муфты четырехзвенного рычага.

Эта формулировка синтеза вход-выход четырехзвенного рычага представляет собой инверсию синтеза конечных положений, где движение выходного кривошипа относительно входного кривошипа определяется проектировщиком. С этой точки зрения OC заземляющего звена представляет собой кривошип, который удовлетворяет заданным конечным положениям движения выходного кривошипа относительно входного кривошипа, и результаты Burmester показывают, что его наличие гарантирует наличие по крайней мере одного соединительного звена. Более того, результаты Burmester показывают, что может быть до трех таких соединительных звеньев, которые обеспечивают желаемое соотношение ввода-вывода. ^[6]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Ян Р. Портеус (2001) Геометрическая дифференциация , § 3.5 Точки Burmester, стр. 58, Cambridge University Press ISBN  0-521-00264-8 .
• М. Чеккарелли и Т. Коецер, Бурместер и Аллиеви: теория и ее применение для проектирования механизмов в конце XIX века , ASME 2006

Внешние ссылки [ править ]

• RE Kaufman предоставляет ссылки на видеоролики о KINSYN, оригинальном программном обеспечении для интерактивной графики, реализующем четырехпозиционный синтез Burmester.
• Программное обеспечение Lincages Университета Миннесоты реализует четырехпозиционный синтез Burmester.
• Программное обеспечение Synthetica 3.0 применяет подход Burmester к синтезу пространственных связей.
• Синтез связей на сайте Mechanicaldesign101.com предоставляет блокнот Mathematica для пятипозиционного синтеза Burmester.