Метод Кастильяно , названный в честь Карло Альберто Кастильяно , представляет собой способ для определения смещения в линейно-упругой системы на основе частных производных в энергии . Он известен своими двумя теоремами. Базовую концепцию можно легко понять, вспомнив, что изменение энергии равно вызывающей силе, умноженной на результирующее смещение. Следовательно, вызывающая сила равна изменению энергии, деленному на результирующее смещение. В качестве альтернативы результирующее смещение равно изменению энергии, деленному на вызывающую силу. Частные производные необходимы, чтобы связать вызывающие силы и результирующие смещения с изменением энергии.
- Первая теорема Кастильяно - для сил в упругой конструкции
Метод Кастильяно для вычисления сил - это приложение его первой теоремы, которая гласит:
- Если энергию деформации упругой конструкции можно выразить как функцию обобщенного смещения q i, то частная производная энергии деформации по обобщенному смещению дает обобщенную силу Q i .
В форме уравнения
где U - энергия деформации.
Если кривая силы-смещения нелинейна, то вместо энергии деформации необходимо использовать дополнительную энергию деформации. [1]
- Вторая теорема Кастильяно - для перемещений в линейно-упругой конструкции.
Метод Кастильяно для вычисления перемещений - это приложение его второй теоремы, которая гласит:
- Если энергия деформации линейно упругой конструкции может быть выражена как функция обобщенной силы Q i, то частная производная энергии деформации по обобщенной силе дает обобщенное смещение q i в направлении Q i .
Как указано выше, это также можно выразить как:
Примеры
Для тонкой прямой консольной балки с нагрузкой P на конце смещение в конце можно найти по второй теореме Кастильяно:
где - модуль Юнга ,- второй момент площади поперечного сечения, а - выражение для внутреннего момента в точке на расстоянии с конца. Интеграл оценивается как:
Результатом является стандартная формула для консольных балок при концевых нагрузках.
Внешние ссылки
- Карло Альберто Кастильяно
- Метод Кастильяно: несколько примеров (на немецком языке)
Рекомендации
- ^ История сопротивления материалов, Стивен П. Тимошенко, 1993, Dover Publications, Нью-Йорк