Шахматная доска парадокс [1] [2] или парадокс Лойд и Schlömilch [3] является falsidical парадокса основан на оптической иллюзии. Шахматная доска или квадрат со стороной 8 единиц разрезают на четыре части. Эти четыре части образуют прямоугольник с длиной стороны 13 и 5 единиц. Следовательно, общая площадь всех четырех частей составляет 64 единицы площади в квадрате, но 65 единиц площади в прямоугольнике, это кажущееся противоречие связано с оптической иллюзией, поскольку четыре части не помещаются точно в прямоугольник, но оставляют небольшой едва заметный зазор вокруг диагонали прямоугольника. Этот парадокс иногда приписывают американскому изобретателю головоломок Сэму Лойду (1841–1911) и немецкому математику.Оскар Шлёмильх (1832–1901)
Анализ
При внимательном рассмотрении можно увидеть, что четыре части не совсем подходят друг к другу, а оставляют небольшой едва заметный зазор по диагонали прямоугольника. Этот разрывимеет форму параллелограмма, что можно проверить, показав, что противоположные углы имеют одинаковый размер. [4]
Точная подгонка четырех частей вдоль прямоугольника требует, чтобы параллелограмм свернулся в линейные сегменты, что означает, что ему необходимо иметь следующие размеры:
Поскольку фактические углы незначительно отклоняются от этих значений, это создает оптическую иллюзию того, что параллелограмм представляет собой всего лишь отрезок прямой, а части точно подходят друг другу. [4] В качестве альтернативы можно проверить параллельность, поместив реакционный угол в систему координат и сравнив наклоны или векторное представление сторон.
Длина стороны и диагонали параллелограмма равны:
Используя формулу Герона, можно вычислить площадь половины параллелограмма (). Половина окружности равна
что дает площадь всего параллелограмма:
Таким образом, площадь зазора в точности равна дополнительной площади прямоугольника.
Обобщение
Сегменты линии, представленные на рисунке в последних главах, имеют длину 2, 3, 5, 8 и 13. Все они являются последовательными числами Фибоначчи, что предполагает обобщение схемы рассечения, основанной на числах Фибоначчи. Свойства чисел Фибоначка также дают более глубокое понимание того, почему оптическая иллюзия работает так хорошо. Квадрат, длина стороны которого равна числу Фибоначчи. можно разрезать отрезками длины Таким же образом была разрезана шахматная доска отрезками длиной 8, 5, 3 (см. рисунок). [4]
Личность Кассини гласит: [4]
Отсюда сразу становится ясно, что разница в площади между квадратом и прямоугольником всегда должна составлять 1 единицу площади, в частности, для исходного парадокса шахматной доски:
Обратите внимание, чем для неравномерного индекса площадь квадрата не меньше на единицу площади, а больше. В этом случае четыре части не создают небольшого зазора при сборке в прямоугольник, а вместо этого слегка перекрывают друг друга. Поскольку разница в площади всегда составляет 1 единицу площади, оптическую иллюзию можно улучшить, используя большие числа Фибоначчи, позволяя проценту разрыва в площади прямоугольника становиться сколь угодно малым и, следовательно, для практических целей невидимым.
Поскольку отношение соседних чисел Фибоначчи довольно быстро сходится относительно золотого сечения , следующие соотношения также быстро сходятся:
Чтобы четыре выреза в квадрате точно совпадали и образовывали прямоугольник, маленький параллелограмм должен свернуться в отрезок прямой, являющийся диагональю параллелограмма. В этом случае для углов в прямоугольнике справедливо следующее, поскольку они соответствуют углам параллелей:
- , , ,
Как следствие, следующие прямоугольные треугольники , , а также должны быть одинаковыми и соотношение ног должно быть одинаковым.
Из-за быстрой сходимости, указанной выше, соответствующие соотношения чисел Фибоначчи в собранном прямоугольнике почти одинаковы: [4]
Следовательно, они почти точно подходят друг к другу, что создает оптическую иллюзию.
Можно также посмотреть на углы параллелограмма, как в исходном анализе шахматной доски. Для этих углов можно вывести следующие формулы: [4]
Следовательно, углы быстро сходятся к значениям, необходимым для точной подгонки.
Однако можно использовать схему рассечения без создания несоответствия площадей, то есть четыре выреза соберутся точно в прямоугольник той же площади, что и квадрат. Вместо того, чтобы использовать числа Фибоначчи, рассечение основывается непосредственно на самом золотом сечении (см. Рисунок). Для квадрата со стороной это дает площадь прямоугольника
поскольку является свойством золотого сечения. [5]
История
Парадокс Хупера можно рассматривать как предшественник шахматного парадокса. В нем у вас есть та же фигура из четырех частей, собранных в прямоугольник, однако разрезанная форма, из которой происходят четыре части, еще не является квадратом, и задействованные отрезки линии не основаны на числах Фибоначчи. Хупер опубликовал парадокс, названный в его честь под названием «Геометрические деньги», в своей книге « Рациональные развлечения» . Я, однако, не был его изобретением, поскольку его книга была, по сути, переводом « Новых размышлений о физике и математике » Эдме Жиля Гийо (1706–1786), которые были опубликованы во Франции в 1769 году ». [1]
Первая известная публикация настоящего шахматного парадокса принадлежит немецкому математику Оскару Шлемильху. Он опубликовал ее в 1868 году под названием Ein geometrisches Paradoxon («геометрический парадокс») в немецком научном журнале Zeitschrift für Mathematik und Physik . В том же журнале Виктор Шлегель опубликовал в 1879 году статью Verallgemeinerung eines geometrischen Paradoxons («обобщение геометрического парадокса»), в которой он обобщил конструкцию и указал на связь с числами Фибоначчи. Парадокс шахматной доски также был любимцем британского математика и писателя Льюиса Кэрролла , который тоже работал над обобщением, но не опубликовал его. Это было позже обнаружено в его записях после его смерти. Американский изобретатель головоломок Сэм Лойд утверждал, что представил парадокс шахматной доски на Всемирном шахматном конгрессе в 1858 году, и позже он был включен в «Циклопедию 5000 головоломок, уловок и загадок» Сэма Лойда (1914), которая была посмертно опубликована его сыном. название. Сын заявил, что сборка четырех частей в фигуру из 63 единиц площади (см. Грахик вверху) была его идеей. Однако он уже был опубликован в 1901 году в статье Уолтера Декстера « Некоторые головоломки с открытками ». [1] [6]
Рекомендации
- ^ a b c Грег Н. Фредериксон: Dissections: Plane and Fancy . Cambridge University Press, 2003, ISBN 9780521525824 , глава 23, стр. 268–277, в частности стр. 271–274 ( онлайн-обновление для главы 23 )
- ^ Колин Фостер: «Скользкие склоны». В кн . : Математика в школе , т. 34, нет. 3 (май 2005 г.), стр. 33–34 ( JSTOR )
- ^ Franz Lemmermeyer: Mathematik а - ля карт: Elementargeometrie Quadratwurzeln мит einigen geschichtlichen Bemerkungen . Springer 2014, ISBN 9783662452707 , стр. 95–96 (немецкий)
- ^ a b c d e f Томас Коши: Числа Фибоначчи и Люка с приложениями . Wiley, 2001 г., ISBN 9781118031315 , стр. 74, 100–108
- ^ Альбрехт Бойтельшпахер , Бернхард Петри: Der Goldene Schnitt. Spektrum, Гейдельберг / Берлин / Оксфорд, 1996. ISBN 3-86025-404-9 , стр. 91–93 (немецкий)
- ^ Мартин Гарднер: математика, магия и тайна . Курьер (Дувр), 1956 г. ISBN 9780486203355 , стр. 129–155
дальнейшее чтение
- Жан-Поль Делахай: Au платит за парадоксы . Humensis, 2014 г., ISBN 9782842451363 (французский)
- Миодраг Петкович: известные загадки великих математиков . AMS, 2009 г., ISBN 9780821848142 , стр. 14, 30–31
- А.Ф. Хорадам: «Последовательности Фибоначчи и геометрический парадокс». В кн . : Математический журнал , т. 35, нет. 1 (январь 1962 г.), стр. 1–11 ( JSTOR )
- Дэвид Сингмастер: «Загадки исчезающей области» . В: Журнал развлекательной математики , вып. 1 марта 2014 г.
- Джон Ф. Лэмб-младший: «Головоломка для резки ковра». В: The Mathematics Teacher , Band 80, Nr. 1 (январь 1987 г.), стр. 12–14 ( JSTOR )
- Уоррен Уивер: «Льюис Кэрролл и геометрический парадокс». В: The American Mathematical Monthly , vol. 45, нет. 4 (апрель 1938 г.), стр. 234–236 ( JSTOR )
- Оскар Шлёмильх : «Ein geometrisches Paradoxon». В: Zeitschrift für Mathematik und Physik , т. 13, 1868, стр. 162 (немецкий)
- Виктор Шлегель : "Verallgemeinerung eines geometrischen Paradoxons". В: Zeitschrift für Mathematik und Physik , т. 24, 1879, стр. 123–128 (немецкий)
Внешние ссылки
- Пазл Парадокс
- Вайсштейн, Эрик В. «Заблуждение расслоения» . MathWorld .