Палочки для еды (ручная игра)

Счет в игре отслеживается на пальцах обеих рук.

Палочки для еды - это игра для двух или более игроков, в которой игроки вытягивают несколько пальцев из каждой руки и переносят эти очки, по очереди касаясь одной рукой другой. ^{[1] [2]} Палочки для еды - это пример комбинаторной игры , и она решается в том смысле, что при идеальной игре известна оптимальная стратегия с любой точки.

Правила [ править ]

Этот официальный набор правил называется переворачиванием, когда вычитается пять пальцев, если сумма руки превышает 5, как описано ниже.

1. Каждый игрок начинает с поднятым пальцем на каждую руку. После первого поворота игрока продолжайте движение по часовой стрелке.
2. В свой ход игрок должен либо атаковать, либо разделиться , но не то и другое вместе.
3. Чтобы атаковать , игрок использует одну из своих живых рук, чтобы ударить живую руку противника. Количество пальцев на пораженной руке противника увеличивается на количество пальцев на руке, использованной для нанесения удара.
4. Чтобы разделиться , игрок ударяет обеими руками вместе и по желанию перекладывает поднятые пальцы из одной руки в другую. Ход не может быть просто разворот собственными руками. Если какая-либо рука любого игрока достигает ровно пяти пальцев, рука убивается , и это обозначается поднятием нуля пальцев (то есть сжатым кулаком).
5. Игрок может оживить свою собственную мертвую руку, используя разделение, если они соблюдают правила разделения. Однако игроки не могут оживлять руки противников с помощью атаки. Следовательно, игрок с двумя мертвыми руками больше не может играть и выбывает из игры.
6. Если какая-либо рука любого игрока достигает более пяти пальцев, то пять пальцев вычитаются из этой руки. Например, если рука с четырьмя пальцами ударяет по руке с двумя пальцами, всего 6 пальцев, то автоматически вычитается 5 пальцев, и остается 1 палец. Согласно другим правилам, когда рука достигает 5 пальцев и выше, это считается «мертвой рукой».
7. Игрок побеждает, когда все противники уничтожены (у каждого есть две мертвые руки одновременно).
8. Не существует варианта, в котором игрок может убить свою руку.

Оптимальная стратегия [ править ]

Используя приведенные выше правила, два идеальных игрока будут играть бесконечно; игра будет продолжаться в цикле. Фактически, даже очень неопытные игроки могут избежать проигрыша, просто заглянув на один ход вперед.

Используя вариант с отсечкой, первый игрок может добиться победы. Одна из выигрышных стратегий - всегда достигать одной из следующих конфигураций после каждого хода, предпочтительно выбирая первую в списке, если есть более одного варианта. Каждая конфигурация будет представлена ​​как [a, b], [c, d], где [a, b] представляет две руки игрока (без учета порядка), а [c, d] представляет руки его оппонента.

• [2, 1], [1, 1] (начиная с этого места)
• [?,?], [1, 2] (если возможно, выигрывают сразу)

И наоборот, если постукивание собственной рукой запрещено, но разрешено разделение двух живых рук на одну, то второй игрок имеет выигрышную стратегию. ^{[3] [ как? ]}

Аббревиатура [ править ]

Положение палочек для еды можно легко сократить до четырехзначного кода [ABCD]. A и B - руки (в порядке возрастания пальцев) игрока, который собирается сделать свою очередь. C и D - руки (в порядке возрастания пальцев) игрока, который не собирается делать ход. Важно отметить руки каждого игрока в порядке возрастания, чтобы одна отдельная позиция не была случайно представлена ​​двумя кодами. Например, код [1032] недопустим и должен быть записан в виде [0123].

Следовательно, начальная позиция - [1111]. Следующая позиция должна быть [1211]. Следующая позиция должна быть либо [1212], либо [1312]. Если рассматривать каждую позицию как 4-значное число, наименьшая позиция - 0000, а наибольшая позиция - 4444.

Эта формула сокращения легко распространяется на игры с большим количеством игроков. Игра для трех игроков может быть представлена ​​шестизначными цифрами (например, [111211]), где каждая пара соседних цифр представляет одного игрока, и каждая пара упорядочивается в зависимости от того, когда игроки будут делать ходы. Самая левая пара представляет руки игрока, который собирается сделать свою очередь; средняя пара представляет игрока, который пойдет следующим, и так далее. Самая правая пара представляет игрока, который должен дольше всех ждать своей очереди (обычно потому, что он только что пошел).

Движение [ править ]

По обычным правилам существует максимум 14 возможных ходов:

• Четыре атаки (AC, AD, BC, BD)
• Четыре дивизиона (02-11, 03-12, 04-13, 04-22)
• Шесть передач (13-22, 22-13, 14-23, 23-14, 24-33, 33-24)

Однако в один ход доступно только 5 или меньше из них. Например, ранняя позиция 1312 может перейти на 2213, 1313, 2413, 0113 или 1222.

Продолжительность игры [ править ]

Самая короткая игра - 5 ходов. Есть один пример:

1. 1111 1211 1312 0113 1401 0014

Максимально возможная продолжительность игры, которая с каждым ходом удаляется от начальной точки, составляет 9 ходов. Есть два случая:

1. 1111 1211 1212 2212 2322 0223 0202 0402 0104 0001
2. 1111 1211 1212 2312 2323 0323 0303 0103 0401 0004

Самая длинная игра с пересмотром - бессрочна.

Должности [ править ]

Так как величина переворота равна 5, палочки для еды - это игра с базой 5. Каждая позиция состоит из четырех цифр. Отсчет от 0000 до 4444 (в базе-5) дает 625 позиций. Однако большинство этих позиций являются неправильными обозначениями (например, 0132, 1023 и 1032). Они выглядят по-разному, но функционально одинаковы в игровом процессе. Чтобы найти количество функционально различных позиций, мы просто возводим в квадрат количество функционально различных пар. Есть 15 различных пар (00, 01, 02, 03, 04, 11, 12, 13, 14, 22, 23, 24, 33, 34 и 44). Поскольку любой игрок может иметь любую из этих пар, мы просто умножаем 15 * 15, что дает нам 225 функционально различных позиций.

• Всего 625 должностей, включая резервы.
• Всего насчитывается 225 функционально обособленных позиций.
• Всего доступно 204 позиции.

Есть 21 недоступная позиция: 0000, 0100, 0200, 0300, 0400, 1100, 1101, 1200, 1300, 1400, 2200, 2202, 2300, 2400, 3300, 3303, 3400, 3444, 4400, 4404 и 4444.

1. 15 из них - это просто один игрок, имеющий каждую из 15 различных пар, а другой игрок мертв. Проблема в том, что мертвый игрок - это игрок, который только что сделал свой ход (отсюда «00» справа). Поскольку игрок не может проиграть в свой ход, эти позиции, очевидно, недоступны.
2. 4 из этих пар - это то место, куда должен двигаться игрок, имеющий [kk], а другой игрок, имеющий [0k], где . Это недоступно, потому что игрок, который только что пошел [0k], не сможет разделиться, поэтому этот игрок должен атаковать, используя его [0k]. Но нет возможности использовать [0k] для атаки врага, чтобы он переместился на [kk]. Для этого потребуется атаковать мертвую руку, что незаконно.${\ Displaystyle 0 <к <5}$
3. Остальные две позиции - 3444 и 4444. 4444 недостижима, потому что игрок не может достичь [44] из сплита и, следовательно, уже должен был иметь [44]. Единственная возможная пара, которая попадает в [44] после атаки [44], - это [04], что снова требует атаки мертвой руки. На самом деле 3444 доступен, но только из 4444. Поскольку 4444 недоступен из 4444, как и 3444.

Все, кроме одной из этих позиций в пункте 2, достижимы в варианте «Самоубийство», так как [1101] все еще недоступен. [1101] доступен, если вариант «Самоубийство» разыграен с вариантом «Мета». Две позиции в пункте 3 доступны в варианте «Солнца», так как 4444 - стартовая позиция, но две позиции недоступны в середине игры. Таким образом, если вы играете в «Самоубийство», «Мета» и «Солнца» вместе, всего будет 15 недостижимых позиций и 210 доступных позиций.

Есть 14 достижимых эндшпилей: 0001, 0002, 0003, 0004, 0011, 0012, 0013, 0014, 0022, 0023, 0024, 0033, 0034, 0044. Достаточно удовлетворительно, это все 14 возможных эндшпилей; Другими словами, кто-то может выиграть, используя любую из 14 различных живых пар. Из этих 14 эндшпилей первый игрок выигрывает 8 из них, предполагая, что партии завершаются за минимальное количество ходов.

Варианты [ править ]

• Мизер : Побеждает первый игрок, у которого обе руки убиты.
• Самоубийство : игрокам разрешено убить одну из своих рук расколом. Например, в позиции [1201] игрок может выполнить 12-03, таким образом доведя игру до [0103]. Противник вынужден играть BD, доводя игру до [0401], после чего становится возможной быстрая победа для первого игрока.
• Обмен : если у игроков есть две неравные живые руки, они могут поменять их местами (но теряют свой ход).
• Внезапная смерть : игроки проигрывают, когда у них остается только один палец (на обеих руках). В качестве альтернативы, каждый игрок может начать с тремя жизнями, и каждый раз, когда они опускаются до [01], они теряют жизнь.
• Мета : Если сумма рук игрока превышает пять, они могут объединить их, вычесть пять из общей суммы, а затем разделить остаток. Например, [44] в сумме дает 8. По правилам мета, 4 и 4 могут быть объединены в 8, которое становится 3 после вычитания пяти; затем их можно разделить на [12]. Следовательно, можно перейти от [44] к [12] за один ход. Мета открывает 2 новых возможных хода (34-11, 44-12). Если вы играете и Мета, и Самоубийство, разблокируются четыре дополнительных хода (24-01, 33-01, 34-02, 44-03), всего не более 20 возможных ходов.
• Пункт Логана : Игрокам разрешено совершить самоубийство и поменяться местами, но только если они будут делать и то, и другое одновременно (т.е. поменять мертвую руку на живую).
• Отсечка : если рука превышает пять пальцев, она мертва (в отличие от переворачивания , описанного в официальных правилах).
• Зомби : с тремя или более игроками, если игрок нокаутирован, он навсегда уменьшается до одного пальца на одной руке. В свой ход они могут атаковать, но не могут разделиться или подвергнуться нападению (изобретен Крисом Бэнди).
• Только переводы : разделение не допускается. Разрешены только переводы.
• Только дивизионы : переводы не допускаются. Разрешены только разделения.
• Половинки : разделение разрешено только при делении четного числа на две равные половины или, необязательно, при делении нечетного числа как можно более равномерно (с использованием целых чисел). В этом варианте у второго игрока есть выигрышная стратегия (всегда может заставить выиграть). ^[4]
• Пни : если игрок находится на [01], можно разделить на [0,5 0,5].
• Больше рук : у каждого игрока больше двух рук. Обычно это играется в командах из нескольких человек, так как у людей есть только две руки.
• Различные числа : рука умирает, когда достигает положительного числа . это стандартный вариант палочек для еды. Различные системы подсчета рук могут использоваться для чисел больше 5, таких как китайские цифры на руках , счет по сенарным пальцам и двоичные числа по пальцам . Этот вариант часто включает опрокидывание.${\ displaystyle r}$${\ displaystyle r = 5}$
• Мокрый Джексон : В Мокрый Джексон играют только 3 или более игроков. Если во время игры выпрямился, добавьте еще один палец к руке или возродите руку из мертвых одним дополнительным пальцем, затем агрессивно крикните «Возрождение эрекции».
• Санз : Оба игрока начинают с 4 в каждой руке ([4444]). Это позиция, которая недоступна в обычном игровом процессе (то есть из начальной позиции [1111]).
• Целые числа : разрешается менять местами одну из своих рук, перевернув ее, изменив знак +/- на руке. Это позволяет использовать руки с отрицательным и нулевым значением, хотя рука все равно умирает при 5 или -5. При наведении курсора это действие идентично замене значения руки на 5 минус значение.
• Черри : Разрешено менять значения каждой руки. Например, позиция [1231] может превратиться в [2131]. Этот вариант обычно приводит к ничьей путем повторения или бесконечного цикла по очевидным причинам.

Обобщения [ править ]

Палочки для еды могут быть обобщены в игру (p, h, r) -типа, где p - количество игроков, h - количество рук, которые имеет каждый игрок, а r - величина пролистывания.

Вырожденные случаи [ править ]

Игра с количеством переходов , равным 1, является тривиальной игрой , потому что все руки мертвы в начале, когда значения единицы становятся нулевыми . Игра с одним или несколькими игроками - это не игра, а головоломка или клеточный автомат .

Игра с количеством перебрасываний 2 является вырожденной , потому что разделение невозможно, а вариации переброса и отсечения приводят к одной и той же игре. Руки бывают либо «живыми», либо «мертвыми», и при атаке рука убивает руку. Фактически, можно просто подсчитывать количество рук, имеющихся у игрока (используя пальцы или другой метод подсчета), и когда игрок атакует оппонента, количество рук, имеющихся у оппонента, уменьшается на единицу. Всего в игре есть доступные позиции, а продолжительность игры составляет . Игра для двух игроков решается как победа от первого лица для любого . Использование этого вырожденного варианта с вариантом "Пни" дает игру, которая является изоморфной.${\ displaystyle h ^ {p} -1}$${\ displaystyle ph-1}$${\ displaystyle h}$ к варианту «Половинки» с количеством переворачивания 4 и исходным положением, когда все игроки держат по два пальца на каждой руке.

Два игрока [ править ]

Когда у каждого игрока только одна рука ( ), игра становится вырожденной , потому что разделения не может произойти, и у каждого игрока есть только один ход. Учитывая перенос каждой позиции после ходов в игре, можно представить кортежем , где - -е число Фибоначчи с и . Количество позиций определяется наименьшим положительным числом, таким как деление . Этот вариант сильно решается как победа для обеих сторон в зависимости от и свойств делимости чисел Фибоначчи . Продолжительность игры . ${\ displaystyle h = 1}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ left (F_ {k + 2} {\ bmod {r}}, F_ {k + 1} {\ bmod {r}} \ right)}$${\displaystyle F_{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle F_{0}=0}$${\displaystyle F_{1}=1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle r}$ ${\displaystyle F_{k+2}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle k+1}$

Когда у каждого игрока больше одной руки ( ), каждая рука, с учетом перебрасывания ,${\displaystyle h>1}$${\displaystyle r}$

• Есть должности, в том числе увольнения.${\displaystyle r^{2h}}$
• Есть функционально обособленные позиции.${\displaystyle {r+h-1 \choose h}^{2}}$
• Есть достижимые позиции.${\displaystyle {r+h-1 \choose h}^{2}-\left({r+h-1 \choose h}+(r-2)+(h-1)+2\right)}$

Поскольку сумма пролонгации равна, палочки для еды являются базовой игрой. Каждая позиция состоит из цифр. Перечисление всех чисел в базе с цифрами дает нам позиции. Однако большинство этих позиций являются неправильными обозначениями (например, 001210, 010120 и 100021 для ). Они выглядят по-разному, но функционально одинаковы в игровом процессе. Чтобы найти количество функционально различных позиций, мы возводим в квадрат количество функционально различных пар. Для опрокидывания и рук, есть разные пары, где есть -й - симплекс номер . Поскольку любой из игроков может иметь любую из этих пар, мы просто возводим полученное значение в квадрат, что дает нам${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle 2h}$${\displaystyle r}$${\displaystyle 2h}$${\displaystyle r^{2h}}$${\displaystyle h=3}$${\displaystyle r}$${\displaystyle h}$${\displaystyle {r+h-1 \choose h}}$${\displaystyle {r+h-1 \choose h}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {r+h-1 \choose h}^{2}}$ функционально обособленные позиции.

Есть недостижимые позиции. ${\displaystyle {r+h-1 \choose h}+(r-2)+(h-1)+2}$

1. ${\displaystyle {r+h-1 \choose h}}$из них просто один игрок имеет каждую из отдельных пар, а другой игрок мертв. Проблема в том, что мертвый игрок - это игрок, который только что сделал свой ход. Поскольку игрок не может проиграть в свой ход, эти позиции, очевидно, недоступны.${\displaystyle {r+h-1 \choose h}}$
2. ${\displaystyle (r-2)}$из этих позиций являются , когда игрок, чья очередь, имеет руки значение для , а другой игрок имеет только один живой рукой ценности . Эти позиции недоступны, потому что игрок, у которого есть только одна живая ценная рука , не сможет разделиться, поэтому этот игрок должен атаковать, используя свою единственную живую голову. Но нет возможности использовать его единственную живую руку, чтобы атаковать врага так, чтобы у него были ценные руки , так как это потребовало бы атаки мертвой руки, что является незаконным.${\displaystyle h}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 0<k<r-1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle h}$${\displaystyle k}$
3. ${\displaystyle (h-1)}$из этих позиций - когда у игрока, чья очередь, есть вэлью, а у другого игрока живая вэлью-хэнд , где . Эти позиции недоступны, потому что любой игрок, у которого есть только вэлью-руки , не сможет разделиться, поэтому этот игрок должен атаковать, используя одну из своих вэлью- рук. Но нет никакого способа , чтобы использовать оцененную руку так , что у них есть руки значения , так как это потребовало бы атаковать мертвую руку, что является незаконным.${\displaystyle h}$${\displaystyle r-1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle r-1}$${\displaystyle 0<k\leq (h-1)}$${\displaystyle r-1}$${\displaystyle r-1}$${\displaystyle r-1}$${\displaystyle h}$${\displaystyle r-1}$
4. Позиция, когда у обоих игроков есть вэлью . Это недоступно по той же причине, что и пункт 3 выше.${\displaystyle h}$${\displaystyle r-1}$
5. Позиция, когда у игрока, чей ход идет, одна рука вэлью и руки вэлью , а у другого игрока есть руки вэлью . Эта позиция доступна только из предыдущей позиции, но предыдущая позиция недоступна из начальной позиции, поэтому эта позиция также недоступна.${\displaystyle r-2}$${\displaystyle h-1}$${\displaystyle r-1}$${\displaystyle h}$${\displaystyle r-1}$

Все эти позиции, кроме одной, в точках 2 и 3 достижимы в варианте «Самоубийство», так как позиция, в которой игрок, чей ход идет, имеет руки стоимостью 1, а другой игрок имеет только одну живую руку ценности 1, все еще недоступна. . Эта разумная позиция достижима, если вариант «Самоубийство» разыгрывается с вариантом «Мета». Две позиции в точках 4 и 5 достижимы в варианте «Солнца», так как позиция в пункте 4 является стартовой позицией, но эти две позиции недоступны в середине игры. Следовательно, если вы играете в «Самоубийство», «Мету» и «Солнца» вместе, есть в общей сложности недостижимые позиции и доступные позиции.${\displaystyle h}$${\displaystyle {r+h-1 \choose h}}$${\displaystyle {r+h-1 \choose h}^{2}-{r+h-1 \choose h}}$

Более двух игроков [ править ]

Учитывая переход на 5 и 2 руки.

• При 2 игроках получается 204 позиции.
• При 3 игроках получается 3337 позиций.
• С 4 игроками есть более 25 000 позиций.

См. Также [ править ]

• Морра (игра) - другая ручная игра, основанная на шансе, а не на логике.

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Непревзойденный AI Bot для еды . Этот бот играет в игру с остатками и переводами.