Senary

Шестерная ( / ы я п ər я , ево ɛ п ər I / ) система счисления (также известная как база-6 , heximal или seximal ) имеет шесть в качестве своей базы . Он был принят независимо небольшим количеством культур. Как и десятичное число , это полупростое число , хотя, будучи произведением двух последовательных чисел, которые являются простыми (2 и 3), оно имеет высокую степень математических свойств для своего размера. Поскольку шесть - этоСверхкомпозитное число , многие аргументы в пользу двенадцатеричной системы применимы и к основанию 6. В свою очередь, сенарная логика относится к расширению систем троичной логики Яна Лукасевича и Стивена Коула Клини, приспособленных для объяснения логики статистических тестов и шаблонов недостающих данных в науках с использованием эмпирических методов. ^[1]

Формальное определение [ править ]

Стандартный набор цифр в сенаре задается в линейном порядке . Пусть будет Клини замыкание в , где есть операция конкатенации для . Система шестерного номера для натуральных чисел является фактормножество оснащен shortlex порядка , где класс эквивалентности является . Как и порядок коротких строк, он изоморфен натуральным числам .${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} _ {6} = \ lbrace 0,1,2,3,4,5 \ rbrace}$ ${\ Displaystyle 0 <1 <2 <3 <4 <5}$${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} _ {6} ^ {*}}$${\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {6}}$${\ displaystyle ab}$${\ displaystyle a, b \ in {\ mathcal {D}} ^ {*}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {6}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{6}^{*}/\sim }$ ${\displaystyle \sim }$${\displaystyle \lbrace n\in {\mathcal {D}}_{6}^{*},n\sim 0n\rbrace }$${\displaystyle {\mathcal {N}}_{6}}$${\displaystyle \mathbb {N} }$

Математические свойства [ править ]

При выражении в сенаре все простые числа, кроме 2 и 3, имеют последнюю цифру 1 или 5. В сенарии пишутся простые числа

2, 3, 5, 11, 15, 21, 25, 31, 35, 45, 51, 101, 105, 111, 115, 125, 135, 141, 151, 155, 201, 211, 215, 225, 241, 245, 251, 255, 301, 305, 331, 335, 345, 351, 405, 411, 421, 431, 435, 445, 455, 501, 515, 521, 525, 531, 551, ... (последовательность A004680 в OEIS )

То есть для каждого простого числа p, большего 3, есть модульные арифметические соотношения, которые либо p ≡ 1, либо 5 (mod 6) (то есть 6 делит либо p  - 1, либо p  - 5); последняя цифра - 1 или 5. Доказательство от противного. Для любого целого n :

• Если n ≡ 0 (mod 6), 6 | п
• Если n ≡ 2 (mod 6), 2 | п
• Если n 3 (mod 6), 3 | п
• Если n 4 (mod 6), 2 | п

Кроме того, поскольку четыре наименьших простых числа (2, 3, 5, 7) являются делителями или соседями 6, senary имеет простые тесты делимости для многих чисел.

Кроме того, все четные совершенные числа, кроме 6, имеют 44 в качестве последних двух цифр при выражении в сенарии, что доказывается тем фактом, что каждое четное совершенное число имеет форму 2 ^{p −1} (2 ^p −1), где 2 ^p - 1 простое число.

Senary также является самой большой системой чисел с основанием r, которая не имеет итогов, кроме 1 и r  - 1, что делает ее таблицу умножения очень регулярной для своего размера, сводя к минимуму количество усилий, необходимых для запоминания этой таблицы. Это свойство максимизирует вероятность того, что результат целочисленного умножения закончится нулем, при условии, что ни один из его множителей этого не делает.

Дроби [ править ]

Поскольку шесть является произведением первых двух простых чисел и соседствует со следующими двумя простыми числами, многие сенарные дроби имеют простые представления:

Подсчет пальцев [ править ]

Можно сказать, что каждая обычная человеческая рука имеет шесть однозначных положений; кулак, один палец (или большой палец) вытянут, два, три, четыре и затем все пять вытянуты.

Если правая рука используется для представления единицы, а левая - для представления «шестерок», становится возможным для одного человека представлять пальцами значения от нуля до 55 _{сенаров} (35 _{десятичных знаков} ), вместо обычных десяти, получаемых. при стандартном подсчете пальцев. например, если _{вытянуть} три пальца на левой руке и четыре на правой, будет представлено 34 _{сенария} . Это эквивалентно 3 × 6 + 4, что является _{десятичным числом} 22 .

Кроме того, этот метод является наименее абстрактным способом счета с использованием двух рук, который отражает концепцию позиционного обозначения , поскольку перемещение из одной позиции в другую осуществляется переключением с одной руки на другую. В то время как большинство развитых культур считают пальцами до 5 очень похожими способами, за пределами 5 незападных культур отклоняются от западных методов, например, с использованием китайских числовых жестов . Поскольку счет по сенарным пальцам также отклоняется только выше 5, этот метод счета соперничает с простотой традиционных методов счета, что может иметь значение для обучения молодых студентов позиционной нотации.

Какая рука используется для «шестерок», а какие единицы - зависит от предпочтения счетчика, однако, если смотреть с точки зрения счетчика, использование левой руки в качестве наиболее значимой цифры коррелирует с письменным представлением того же сенария. номер. Переворачивание руки с «шестерками» на заднюю сторону может помочь в дальнейшей неоднозначности того, какая рука представляет «шестерки», а какая - единицы. Обратной стороной сенарного подсчета, однако, является то, что без предварительного соглашения две стороны не смогут использовать эту систему, не зная, какая стрелка представляет шестерки, а какая - единицы, тогда как подсчет на основе десятичных чисел (числа, превышающие 5, выражаются открытым ладонь и дополнительные пальцы), являясь, по сути, унарным Система требует, чтобы другая сторона только подсчитала количество вытянутых пальцев.

В баскетболе NCAA унифицированные номера игроков могут быть не более чем двумя цифрами, чтобы судьи могли сигнализировать, какой игрок совершил нарушение, используя эту систему подсчета пальцев. ^[2]

Более абстрактные системы подсчета пальцев , такие как чисанбоп или бинарный подсчет пальцев , позволяют считать до 99, 1023 или даже выше в зависимости от метода (хотя и не обязательно по своей природе). Английский монах и историк Беде , описанный в первой главе своей работы De temporum ratione, (725), озаглавленной «Tractatus de computo, vel loquela per gestum digitorum», система, которая позволяла считать до 9 999 на двух руках. ^{[3] [4]}

Естественные языки [ править ]

Несмотря на редкость культур, в которых большие количества группируются по 6, обзор развития систем счисления предлагает порог численности в 6 (возможно, концептуализированный как «целое», «кулак» или «за пятью пальцами» ^[5] ). , причем 1–6 часто являются чистыми формами, а числительные после этого создаются или заимствованы. ^[6]

Ndom язык из Папуа - Новой Гвинеи , по сообщениям, шестеричная цифра. ^[7] Mer означает 6, mer an thef означает 6 × 2 = 12, nif означает 36, а nif thef означает 36 × 2 = 72.

Другой пример из Папуа-Новой Гвинеи - языки ям . В этих языках счет связан с ритуальным счетом ямса. Эти языки считают от шести по основанию, используя слова для степеней шести; работает до 6 ⁶ для некоторых языков. Одним из примеров является Komnzo со следующими цифрами: nibo (6 ¹ ), fta (6 ² ), taruba (6 ³ ), damno (6 ⁴ ), wärämäkä (6 ⁵ ), wi (6 ⁶ ).

Некоторые языки Нигер-Конго сообщили использовать шестеричных систему счисления, как правило , в дополнение к другой, например, десятичной или двадцатеричной . ^[6]

Предполагается, что в протоуральском языке также были сенарные числа, а число 7 было заимствовано позже, хотя данные о построении больших чисел (8 и 9) вычитанием из десяти говорят о том, что это может быть не так. ^[6]

База 36 как сентарное сжатие [ править ]

Для некоторых целей база 6 может быть слишком маленькой для удобства. Это можно обойти, используя его квадрат с основанием 36 (шестнадцатеричный, также известный как нифтимальный), поскольку тогда преобразование упрощается путем простого выполнения следующих замен:

Таким образом, число WIKIPEDIA _{36 с} основанием ₃₆ равно старшему числу 523032304122213014 ₆ . В десятичном формате это 91 730 738 691 298.

Выбор числа 36 в качестве системы счисления удобен тем, что цифры могут быть представлены арабскими цифрами 0–9 и латинскими буквами A – Z: этот выбор является основой схемы кодирования base36 . Эффект сжатия 36, являющегося квадратом 6, приводит к тому, что многие шаблоны и представления становятся короче в базе 36:

1/9 ₁₀ = 0,04 ₆ = 0,4 ₃₆

1/16 ₁₀ = 0,0213 ₆ = 0,29 ₃₆

1/5 ₁₀ = 0. 1 ₆ = 0. 7 ₃₆

1/7 ₁₀ = 0. 05 ₆ = 0. 5 ₃₆

См. Также [ править ]

• Метод Diceware для кодирования значений base-6 в произносимые пароли.
• Схема кодирования Base36
• Шифр ADFGVX для шифрования текста в серию эффективно зашитых цифр.

Связанные системы счисления [ править ]

• Двоичный (основание 2)
• Тернарный (основание 3)
• Восьмеричный (основание 8)
• Шестнадцатеричный (основание 16)
• Вигесимал (основание 20)
• Тринадцатеричный (основание 30)
• Двенадцатеричный (основание 12)
• Шестидесятеричный (основание 60)

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Люди, кажется, предпочитают Heximal по числовой популярности
• Шесть базовых диалектик Хижины
• Конверсия сенарной базы
• Сайт о Seximal