Палочки для еды (ручная игра)

Счет в игре отслеживается на пальцах обеих рук.

Палочки для еды - это игра для двух или более игроков, в которой игроки вытягивают несколько пальцев из каждой руки и переносят эти очки, по очереди касаясь одной рукой другой. ^[1]^[2] Палочки для еды - это пример комбинаторной игры , и она решается в том смысле, что при идеальной игре известна оптимальная стратегия с любой точки.

Правила [ править ]

Этот официальный набор правил называется переворачиванием, когда вычитается пять пальцев, если сумма руки превышает 5, как описано ниже.

Каждый игрок начинает с поднятым пальцем на каждую руку. После первого поворота игрока продолжайте движение по часовой стрелке.
В свой ход игрок должен либо атаковать, либо разделиться , но не то и другое вместе.
Для атаки игрок использует одну из своих живых рук, чтобы поразить живую руку противника. Количество пальцев на пораженной руке противника увеличивается на количество пальцев на руке, использованной для нанесения удара.
Чтобы разделиться , игрок ударяет обеими руками вместе и переносит поднятые пальцы из одной руки в другую по желанию. Ход не может быть просто разворот собственными руками. Если любая рука любого игрока достигает ровно пяти пальцев, рука убивается , и это обозначается поднятием нуля пальцев (то есть сжатым кулаком).
Игрок может оживить свою мертвую руку, используя разделение, если он соблюдает правила разделения. Однако игроки не могут оживлять руки противников с помощью атаки. Следовательно, игрок с двумя мертвыми руками больше не может играть и выбывает из игры.
Если какая-либо рука любого игрока достигает более пяти пальцев, то пять пальцев вычитаются из этой руки. Например, если рука с четырьмя пальцами ударяет по руке с двумя пальцами, всего 6 пальцев, то автоматически вычитаются 5 пальцев, и остается 1 палец. Согласно другим правилам, когда рука достигает 5 пальцев и выше, это считается «мертвой рукой».
Игрок побеждает, когда все противники уничтожены (у каждого есть две мертвые руки одновременно).
Нет варианта, в котором игрок может убить свою руку.

Оптимальная стратегия [ править ]

Используя приведенные выше правила, два идеальных игрока будут играть бесконечно; игра будет продолжаться в цикле. Фактически, даже очень неопытные игроки могут избежать проигрыша, просто заглянув на один ход вперед.

Используя вариант с отсечкой, первый игрок может добиться победы. Одна из выигрышных стратегий - всегда достигать одной из следующих конфигураций после каждого хода, предпочтительно выбирая первую в списке, если существует более одного варианта. Каждая конфигурация будет представлена как [a, b], [c, d], где [a, b] представляет две руки игрока (без учета порядка), а [c, d] представляет руки его оппонента.

[2, 1], [1, 1] (начиная с этого места)
[?,?], [1, 2] (если возможно, выигрывают сразу)

И наоборот, если постукивание собственной рукой запрещено, но разрешено разделение двух живых рук на одну, то второй игрок имеет выигрышную стратегию. ^[3]^{[ как? ]}

Аббревиатура [ править ]

Положение палочек для еды можно легко сократить до четырехзначного кода [ABCD]. A и B - руки (в порядке возрастания пальцев) игрока, который собирается сделать свою очередь. C и D - руки (в порядке возрастания пальцев) игрока, который не собирается делать ход. Важно записать руки каждого игрока в порядке возрастания, чтобы одна отдельная позиция не была случайно представлена двумя кодами. Например, код [1032] недопустим и должен быть записан в виде [0123].

Следовательно, начальная позиция - [1111]. Следующая позиция должна быть [1211]. Следующая позиция должна быть либо [1212], либо [1312]. Если рассматривать каждую позицию как 4-значное число, самая маленькая позиция - 0000, а самая большая позиция - 4444.

Эта формула сокращения легко распространяется на игры с большим количеством игроков. Игра для трех игроков может быть представлена шестизначными цифрами (например, [111211]), где каждая пара соседних цифр представляет одного игрока, и каждая пара упорядочена в зависимости от того, когда игроки будут делать ходы. Самая левая пара представляет руки игрока, который собирается сделать свою очередь; средняя пара представляет игрока, который пойдет следующим, и так далее. Самая правая пара представляет игрока, который должен дольше всех ждать своей очереди (обычно потому, что он только что пошел).

Движение [ править ]

Согласно обычным правилам, есть максимум 14 возможных ходов:

Четыре атаки (AC, AD, BC, BD)
Четыре дивизиона (02-11, 03-12, 04-13, 04-22)
Шесть передач (13-22, 22-13, 14-23, 23-14, 24-33, 33-24)

Однако в каждый ход доступно только 5 или меньше из них. Например, ранняя позиция 1312 может перейти на 2213, 1313, 2413, 0113 или 1222.

Продолжительность игры [ править ]

Самая короткая игра - 5 ходов. Есть один пример:

1111 1211 1312 0113 1401 0014

Максимально возможная продолжительность игры, которая удаляется от начальной точки с каждым ходом, составляет 9 ходов. Есть два случая:

1111 1211 1212 2212 2322 0223 0202 0402 0104 0001
1111 1211 1212 2312 2323 0323 0303 0103 0401 0004

Самая долгая игра с пересмотром - бессрочна.

Должности [ править ]

Так как количество переворачивания равно 5, палочки для еды - это игра с базой 5. Каждая позиция состоит из четырех цифр. Отсчет от 0000 до 4444 (в базе-5) дает 625 позиций. Однако большинство этих позиций являются неправильными обозначениями (например, 0132, 1023 и 1032). Они выглядят по-разному, но функционально одинаковы в игровом процессе. Чтобы найти количество функционально различных позиций, мы просто возводим в квадрат количество функционально различных пар. Есть 15 различных пар (00, 01, 02, 03, 04, 11, 12, 13, 14, 22, 23, 24, 33, 34 и 44). Поскольку любой игрок может иметь любую из этих пар, мы просто умножаем 15 * 15, что дает 225 функционально различных позиций.

Всего 625 должностей, включая резервы.
Всего насчитывается 225 функционально обособленных позиций.
Всего доступно 204 позиции.

Есть 21 недоступная позиция: 0000, 0100, 0200, 0300, 0400, 1100, 1101, 1200, 1300, 1400, 2200, 2202, 2300, 2400, 3300, 3303, 3400, 3444, 4400, 4404 и 4444.

15 из них - это просто один игрок, имеющий каждую из 15 различных пар, а другой игрок мертв. Проблема в том, что мертвый игрок - это игрок, который только что сделал свой ход (отсюда «00» справа). Поскольку игрок не может проиграть в свой ход, эти позиции явно недостижимы.
4 из этих пар - это то место, куда должен двигаться игрок, имеющий [kk], а другой игрок, имеющий [0k], где . Это недостижимо, потому что игрок, который только что пошел [0k], не сможет разделиться, поэтому этот игрок должен был атаковать, используя его [0k]. Но нет возможности использовать [0k] для атаки врага, чтобы он переместился на [kk]. Для этого потребуется атаковать мертвую руку, что незаконно. ${\ Displaystyle 0 <к <5}$
Остальные две позиции - 3444 и 4444. 4444 недостижима, потому что игрок не может достичь [44] из сплита и, следовательно, уже должен был иметь [44]. Единственная возможная пара, которая попадает в [44] после атаки [44], - это [04], что снова требует атаки мертвой руки. На самом деле 3444 доступен, но только из 4444. Поскольку 4444 недоступен из 4444, как и 3444.

Все, кроме одной из этих позиций в пункте 2, достижимы в варианте «Самоубийство», поскольку [1101] все еще недоступен. [1101] доступен, если вариант «Самоубийство» разыграен с вариантом «Мета». Две позиции в пункте 3 доступны в варианте «Солнца», так как 4444 - стартовая позиция, но две позиции недоступны в середине игры. Таким образом, если вы играете в «Самоубийство», «Мета» и «Солнца» вместе, всего будет 15 недостижимых позиций и 210 доступных позиций.

Есть 14 достижимых эндшпилей: 0001, 0002, 0003, 0004, 0011, 0012, 0013, 0014, 0022, 0023, 0024, 0033, 0034, 0044. Достаточно удовлетворительно, это все 14 возможных эндшпилей; Другими словами, кто-то может выиграть, используя любую из 14 различных живых пар. Из этих 14 эндшпилей первый игрок выигрывает 8 из них, предполагая, что партии завершаются за минимальное количество ходов.

Варианты [ править ]

Мизер : Побеждает первый игрок, у которого обе руки убиты.
Самоубийство : игрокам разрешено убить одну из своих рук расколом. Например, в позиции [1201] игрок может выполнить 12-03, таким образом доведя игру до [0103]. Противник вынужден играть BD, доводя игру до [0401], после чего возможна быстрая победа для первого игрока.
Обмены : если у игроков есть две неравные живые руки, они могут поменять их местами (но теряют свой ход).
Внезапная смерть : игроки проигрывают, когда у них остается только один палец (на обеих руках). Поочередно, каждый игрок может начать с тремя жизнями, и каждый раз, когда они доходят до [01], они теряют жизнь.
Мета : Если сумма рук игрока превышает пять, они могут объединить их, вычесть пять из общей суммы, а затем разделить остаток. Например, [44] в сумме дает 8. По правилам мета, 4 и 4 можно объединить в 8, которое становится 3 после вычитания пяти; затем их можно разделить на [12]. Следовательно, можно перейти от [44] к [12] за один ход. Мета открывает 2 новых возможных хода (34-11, 44-12). Если вы играете и Мета, и Самоубийство, разблокируются четыре дополнительных хода (24-01, 33-01, 34-02, 44-03), всего не более 20 возможных ходов.
Пункт Логана : игрокам разрешено совершить самоубийство и поменяться местами, но только если они будут делать и то, и другое одновременно (т.е. поменять мертвую руку на живую).
Отсечка : если рука превышает пять пальцев, она мертва (в отличие от переворачивания , описанного в официальных правилах).
Зомби : с тремя или более игроками, если игрок нокаутирован, он навсегда уменьшается до одного пальца на одной руке. В свою очередь они могут атаковать, но не могут разделиться или подвергнуться нападению (изобретен Крисом Бэнди).
Только переводы : разделение не допускается. Разрешены только переводы.
Только подразделения : переводы не допускаются. Разрешены только разделения.
Половинки : разделение разрешено только при делении четного числа на две равные половины или, необязательно, при делении нечетного числа как можно более равномерно (с использованием целых чисел). В этом варианте у второго игрока есть выигрышная стратегия (всегда может заставить выиграть). ^[4]
Пни : если игрок находится на [01], можно разделить его на [0,5 0,5].
Больше рук : у каждого игрока больше двух рук. Обычно в это играют в командах из нескольких человек, так как у людей только две руки.
Различные числа : рука умирает, когда достигает положительного числа . стандартный вариант палочек для еды. Для чисел больше 5 можно использовать разные системы подсчета рук, такие как китайские цифры на руках , счет по пальцам и двоичные числа по пальцам . Этот вариант часто включает в себя опрокидывание. ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle r = 5}$
Санз : Оба игрока начинают с 4 в каждой руке ([4444]). Это позиция, недоступная в обычном игровом процессе (то есть из начальной позиции [1111]).
Целые числа : разрешается менять местами одну из рук, перевернув ее, изменив знак +/- на руке. Это позволяет использовать руки с отрицательным и нулевым значением, хотя рука все равно умирает при 5 или -5. При наведении курсора это действие становится идентичным замене значения руки на 5 минус значение.
Черри : Разрешено менять значения каждой руки. Например, позиция [1231] может превратиться в [2131]. Этот вариант обычно приводит к ничьей путем повторения или бесконечного цикла по очевидным причинам.

Обобщения [ править ]

Палочки для еды можно обобщить в игру (p, h, r) -типа, где p - количество игроков, h - количество рук, которые есть у каждого игрока, а r - величина пролистывания.

Вырожденные случаи [ править ]

Игра с количеством переброски 1 является тривиальной игрой , потому что все руки мертвы в начале, когда значения единицы становятся нулевыми . Игра с одним или несколькими игроками - это не игра, а головоломка или клеточный автомат .

Игра с количеством перебрасываний 2 является вырожденной , потому что разделение невозможно, а варианты переброса и отсечения приводят к одной и той же игре. Руки бывают либо «живыми», либо «мертвыми», и при атаке рука убивает руку. Фактически, можно просто подсчитывать количество «рук», имеющихся у игрока (используя пальцы или какой-либо другой метод подсчета), и когда игрок атакует оппонента, количество рук, имеющихся у оппонента, уменьшается на единицу. Всего в игре доступно доступных позиций, а продолжительность игры составляет . Игра для двух игроков решается как победа от первого лица для любого . Использование этого вырожденного варианта с вариантом "Пни" дает игру, которая является изоморфной. ${\ displaystyle h ^ {p} -1}$ ${\ displaystyle ph-1}$ ${\ displaystyle h}$ к варианту «Половинки» с количеством переворачивания 4 и исходным положением, когда у всех игроков по два пальца на каждой руке.

Два игрока [ править ]

Когда у каждого игрока есть только одна рука ( ), игра становится вырожденной , потому что разделения не может произойти, и у каждого игрока есть только один ход. Учитывая перенос каждой позиции после ходов в игре, можно представить кортежем , где - -е число Фибоначчи с и . Количество позиций определяется наименьшим положительным числом, таким как деление . Этот вариант сильно решается как победа для обеих сторон в зависимости от и свойств делимости чисел Фибоначчи . Продолжительность игры . ${\ displaystyle h = 1}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle \ left (F_ {k + 2} {\ bmod {r}}, F_ {k + 1} {\ bmod {r}} \ right)}$ ${\ displaystyle F_ {k}}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle F_ {0} = 0}$ ${\ displaystyle F_ {1} = 1}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle F_ {k + 2}}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle k + 1}$

Когда каждый игрок имеет более чем одну руки ( ), каждый из которых руки, дали опрокидывание , ${\ displaystyle h> 1}$ ${\ displaystyle r}$

Есть должности, в том числе увольнения. ${\ displaystyle r ^ {2h}}$
Есть функционально обособленные позиции. ${\ displaystyle {r + h-1 \ выберите h} ^ {2}}$
Есть достижимые позиции. ${\ displaystyle {r + h-1 \ select h} ^ {2} - \ left ({r + h-1 \ choose h} + (r-2) + (h-1) +2 \ right)}$

Поскольку сумма пролонгации равна, палочки для еды являются базовой игрой. Каждая позиция состоит из цифр. Перечисление всех чисел в базе с цифрами дает нам позиции. Однако большинство этих позиций являются неправильными обозначениями (например, 001210, 010120 и 100021 для ). Они выглядят по-разному, но функционально одинаковы в игровом процессе. Чтобы найти количество функционально различных позиций, мы возводим в квадрат количество функционально различных пар. Для опрокидывания и рук, есть разные пары, где есть -й - симплекс номер . Поскольку любой из игроков может иметь любую из этих пар, мы просто возводим полученное значение в квадрат, что дает нам ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle 2h}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle 2h}$ ${\ displaystyle r ^ {2h}}$ ${\ displaystyle h = 3}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle {r + h-1 \ choose h}}$ ${\ displaystyle {r + h-1 \ choose h}}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle {r + h-1 \ выберите h} ^ {2}}$ функционально обособленные позиции.

Есть недостижимые позиции. ${\ displaystyle {r + h-1 \ choose h} + (r-2) + (h-1) +2}$

${\ displaystyle {r + h-1 \ choose h}}$ из них просто один игрок имеет каждую из отдельных пар, а другой игрок мертв. Проблема в том, что мертвый игрок - это игрок, который только что сделал свой ход. Поскольку игрок не может проиграть в свой ход, эти позиции явно недостижимы. ${\ displaystyle {r + h-1 \ choose h}}$
${\ Displaystyle (г-2)}$ из этих позиций являются , когда игрок, чья очередь, имеет руки значение для , а другой игрок имеет только один живой рукой ценности . Эти позиции недоступны, потому что игрок, у которого есть только одна живая ценная рука , не сможет разделиться, поэтому этот игрок должен атаковать своей единственной живой головой. Но нет возможности использовать его единственную живую руку, чтобы атаковать врага, чтобы у него были ценные руки , так как это потребовало бы атаки мертвой руки, что является незаконным. ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ Displaystyle 0 <к <г-1}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle k}$
${\ Displaystyle (ч-1)}$ из этих позиций - когда у игрока, чья очередь, есть вэлью, а у другого игрока - живая вэлью-карта , где . Эти позиции недоступны, потому что любой игрок, у которого есть только вэлью-руки , не сможет разделиться, поэтому этот игрок должен атаковать, используя одну из своих вэлью- рук. Но нет никакого способа , чтобы использовать оцененную руку так , что у них есть руки значения , так как это потребовало бы атаковать мертвую руку, что является незаконным. ${\ displaystyle h}$ $r-1$ $k$ $r-1$ $0<k\leq (h-1)$ $r-1$ $r-1$ $r-1$ $h$ $r-1$
Позиция, когда у обоих игроков есть вэлью . Это недоступно по той же причине, что и пункт 3 выше. $h$ $r-1$
Позиция, когда у игрока, чей ход идет, одна рука вэлью и руки вэлью , а у другого игрока есть руки вэлью . Эта позиция доступна только из предыдущей позиции, но предыдущая позиция недоступна из начальной позиции, поэтому эта позиция также недоступна. $r-2$ $h-1$ $r-1$ $h$ $r-1$

Все эти позиции, кроме одной, в точках 2 и 3 достижимы в варианте «Самоубийство», так как позиция, в которой игрок, чей ход идет, имеет руки со значением 1, а другой игрок имеет только одну живую руку со значением 1, все еще недоступна. . Эта разумная позиция достижима, если вариант «Самоубийство» разыгрывается с вариантом «Мета». Две позиции в точках 4 и 5 достижимы в варианте «Солнца», так как позиция в пункте 4 является стартовой позицией, но эти две позиции недоступны в середине игры. Таким образом, если вы играете в «Самоубийство», «Мета» и «Солнца» вместе, есть в общей сложности недостижимые позиции и доступные позиции. $h$ ${r+h-1 \choose h}$ ${r+h-1 \choose h}^{2}-{r+h-1 \choose h}$

Руки	Сумма пролонгации	Позиции	Функционально отличные позиции	Доступные позиции	С Suicide, Meta и Suns
2	3	81 год	36	26	30
3	3	729	100	85	90
4	3	6561	225	204	210
5	3	59049	441	413	420
6	3	531441	784	748	756
2	4	256	100	85	90
3	4	4096	400	374	380
4	4	65536	1225	1183	1190
5	4	1048576	3136	3072	3080
6	4	16777216	7056	6963	6972
2	5	625	225	204	210
3	5	15625	1225	1183	1190
4	5	390625	4900	4822	4830
5	5	9765625	15876	15741	15750
6	5	244140625	44100	43880	43890

Более двух игроков [ править ]

Учитывая переход на 5 и 2 руки.

При 2 игроках 204 позиции.
При 3 игроках получается 3337 позиций.
С 4 игроками есть более 25 000 позиций.

См. Также [ править ]

Морра (игра) - другая ручная игра, основанная на шансе, а не на логике.

Ссылки [ править ]

^ http://www.wikihow.com/Play-Chopsticks
^ «Игра в палочки для еды» . Деревня деятельности . Проверено 27 марта 2014 .
^ http://www.wikihow.com/Always-Win-Chopsticks
^ Японские игры - Палочки для еды (ручная игра) , 2008

Внешние ссылки [ править ]

Непревзойденный AI Bot для еды . Этот бот играет в игру с остатками и переводами.

[1] ttp://www.wikihow.com/Play-Chopsticks

[VA-2] «Игра в палочки для еды» . Деревня деятельности . Проверено 27 марта 2014 .

[3] ttp://www.wikihow.com/Always-Win-Chopsticks

[4] Японские игры - Палочки для еды (ручная игра) , 2008

[1]

vтеРучные игры
Выносливость	Красные руки Милосердие Война большого пальца
Хлопающие игры	Вниз, детка Мэри Мак Мисс Люси родила ребенка Мисс Сьюзи Пирожное Гороховая каша горячая
Подсчет пальцев	Палочки для еды Морра Шансы и эвенты
Другой	Джонни Вуп Камень ножницы Бумага

vтеТемы по теории игр
Определения	Кооперативная игра Решительность Эскалация обязательств Игра в расширенной форме Победа первого и второго игрока Сложность игры Графическая игра Иерархия убеждений Информационный набор Игра в нормальной форме Предпочтение Последовательная игра Одновременная игра Выбор одновременного действия Решенная игра Лаконичная игра
Концепции равновесия	равновесие по Нэшу Совершенство подигры Устойчивое равновесие по Мертенсу Байесовское равновесие по Нэшу Идеальное байесовское равновесие Дрожащая рука Правильное равновесие Эпсилон-равновесие Коррелированное равновесие Последовательное равновесие Квази-совершенное равновесие Эволюционно устойчивая стратегия Доминирование риска Основной Значение Шепли Парето эффективность Равновесие Гиббса Квантовое равновесие отклика Самоподтверждающееся равновесие Сильное равновесие по Нэшу Марковское идеальное равновесие
Стратегии	Доминирующие стратегии Чистая стратегия Смешанная стратегия Аргумент кражи стратегии Око за око Мрачный спусковой крючок Сговор Обратная индукция Прямая индукция Марковская стратегия Затенение ставки
Классы игр	Симметричная игра Идеальная информация Повторная игра Сигнальная игра Показ игры Дешевый разговор Игра с нулевой суммой Конструкция механизма Проблема торга Стохастическая игра Средняя игра n -игровая игра Большая игра Пуассона Нетранзитивная игра Глобальная игра Строго определенная игра Возможная игра
Игры	Идти Шахматы Бесконечные шахматы Шашки Крестики-нолики Дилемма заключенного Игра по обмену подарками Необязательная дилемма заключенного Дилемма путешественника Координационная игра Курица Сороконожка игра Дилемма волонтера Долларовый аукцион Битва полов Охота на оленя Соответствующие пенни Ультиматум игра Камень ножницы Бумага Пиратская игра Диктаторская игра Игра в общественные блага Блотто игра Война на истощение Проблема с баром Эль Фарол Справедливое деление Ярмарка нарезки торта Игра Курно Тупик Дилемма закусочной Угадайте 2/3 среднего Покер куна Игра Нэша в торг Индукционные головоломки Доверительная игра Игра принцесс и монстров Проблема рандеву
Теоремы	Теорема о невозможности Эрроу Теорема согласия Ауманна Народная теорема Теорема о минимаксе Теорема Нэша Теорема очищения Принцип откровения Теорема Цермело
Ключевые цифры	Альберт В. Такер Амос Тверски Антуан Огюстен Курно Ариэль Рубинштейн Клод Шеннон Даниэль Канеман Дэвид К. Левин Дэвид М. Крепс Дональд Б. Гиллис Дрю Фуденберг Эрик Маскин Гарольд В. Кун Герберт Саймон Эрве Мулен Жан Тироль Жан-Франсуа Мертенс Дженнифер Тур Чейес Джон Харсаньи Джон Мейнард Смит Джон Нэш Джон фон Нейман Кеннет Эрроу Кеннет Бинмор Леонид Гурвич Ллойд Шепли Мелвин Дрешер Меррилл М. Флуд Ольга Бондарева Оскар Моргенштерн Пол Милгром Пейтон Янг Райнхард Зельтен Роберт Аксельрод Роберт Ауманн Роберт Б. Уилсон Роджер Майерсон Сэмюэл Боулз Сюзанна Скотчмер Томас Шеллинг Уильям Викри
Разное	All-pay аукцион Альфа – бета обрезка Парадокс Бертрана Ограниченная рациональность Комбинаторная теория игр Анализ конфронтации Сотрудничество Эволюционная теория игр Преимущество первого хода в шахматах Игровая механика Глоссарий теории игр Список теоретиков игр Список игр по теории игр Безвыигрышная ситуация Решение шахмат Топологическая игра Трагедия общественного достояния Тирания малых решений