Кристофер Денингер

Эта биография живого человека требует дополнительных цитат для проверки . Пожалуйста, помогите, добавив надежные источники . Спорные материалы о живых людях, которые не получены или получены из плохих источников, должны быть немедленно удалены , особенно если они потенциально клеветнические или вредные. Найти источники:  «Кристофер Денингер»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( сентябрь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Кристофер Денингер
Родившийся	( 1958-04-08 )8 апреля 1958 г. (62 года)
Альма-матер	Кельнский университет
Научная карьера
Поля	Математика
Учреждения	Университет Мюнстера
Докторант	Курт Мейер
Докторанты	Аннетт Хубер-Клавиттер Аннетт Вернер [1]

Кристофер Денингер (родился 8 апреля 1958) является немецким математиком в университете Мюнстера . Исследования Денингера сосредоточены на арифметической геометрии , включая приложения к L- функциям .

Карьера [ править ]

Денингер получил докторскую степень в Кельнском университете в 1982 году под руководством Курта Мейера . В 1992 году он разделил премию Готфрида Вильгельма Лейбница с Майклом Рапопортом , Питером Шнайдером и Томасом Цинком . В 1998 г. он был пленарным докладчиком на Международном математическом конгрессе в 1998 г. в Берлине. ^[2] В 2012 году он стал членом Американского математического общества . ^[3]

Математическая работа [ править ]

Двойственность Артина – Вердье [ править ]

В серии работ между 1984 и 1987 годами Денингер изучал расширения двойственности Артина – Вердье . Грубо говоря, Артина- Вердье двойственность, следствием теории полей классов , является арифметической аналог двойственности Пуанкаре , двойственности для когомологий пучков на компактном многообразии. В этой параллели ( спектр ) кольцо целых чисел в числовом поле соответствует 3-многообразию . Следуя работе Мазура , Денингер (1984) распространил двойственность Артина – Вердье на функциональные поля. Затем Денингер распространил эти результаты в различных направлениях, таких как пучки без кручения ( 1986 ), арифметические поверхности ( 1987 ), а также многомерные локальные поля ( вместе с Вингбергом, 1986 ). Появление мотивных комплексов Блоха, рассмотренных в последних статьях, повлияло на работы нескольких авторов, включая Гейссера (2010) , который идентифицировал комплексы Блоха как дуализирующие комплексы над многомерными схемами.

Специальные значения L- функций [ править ]

Другая группа работ Денингера изучает L -функции и их особые значения. Классическим примером L -функции является дзета-функция Римана ζ ( s ), для которой такие формулы, как

ζ (2) = π 2 /6

известны со времен Эйлера. В знаменательной статье Бейлинсон (1984) предложил ряд далеко идущих гипотез, описывающих особые значения L- функций, т. Е. Значения L- функций в целых числах. В очень грубо говоря, домыслы Бейлинсона утверждать , что для гладкого проективного алгебраического многообразия X над Q , мотивная когомологий из X должны быть тесно связаны с Делинем когомологиями из X . Кроме того, связь между этими двумя теориями когомологий должна объяснять, согласно гипотезе Бейлинсона, порядки полюсов и значения

L ( h ⁿ ( X ), s )

в целых числах s . Блох и Бейлинсон доказали существенные части этой гипотезы для h ¹ ( X ) в случае, когда X - эллиптическая кривая с комплексным умножением и s = 2. В 1988 году Deninger & Wingberg представили этот результат. В 1989 и 1990 годах Денингер распространил этот результат на некоторые эллиптические кривые, рассмотренные Шимурой, при всех s ≥2. Денингер и Нарт ( 1995 ) выразили спаривание высот , ключевой ингредиент гипотезы Бейлинсона, как естественное спаривание Ext-групп.в определенной категории мотивов. В 1995 году Денингер изучил произведения Месси в когомологиях Делиня и на основании этого предположил формулу для специального значения L -функции эллиптической кривой при s = 3, что впоследствии было подтверждено Гончаровым (1996) . По состоянию на 2018 год гипотеза Бейлинсона все еще широко открыта, и вклад Денингера остается одним из немногих случаев, когда гипотеза Бейлинсона была успешно опровергнута (обзоры по этой теме включают Deninger & Scholl (1991) , Nekovář (1994) ).

L -функции через регуляризованные детерминанты [ править ]

Ζ-функция Римана определяется с помощью произведения факторов Эйлера

${\displaystyle \zeta _{p}(s):={\frac {1}{1-p^{-s}}}}$

для каждого простого числа p . Чтобы получить функциональное уравнение для ζ ( s ), необходимо умножить их на дополнительный член, включающий гамма-функцию :

${\displaystyle \zeta _{\infty }(s):=2^{-1/2}\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2).}$

Более общие L -функции также определяются произведениями Эйлера, включающими в каждом конечном месте определитель эндоморфизма Фробениуса, действующего на l-адических когомологиях некоторого многообразия X / Q , в то время как множитель Эйлера для бесконечного места, согласно Серра , продукты гамма функций в зависимости от структур Ходжа , присоединенных к X / Q . Денингер (1991) выразил эти Γ-факторы в терминах регуляризованных детерминант и продолжил в 1992 г., а в 1994 г. harvtxt error: no target: CITEREFDeninger1991 (help), чтобы объединить факторы Эйлера L -функций как в конечных, так и в бесконечных местах с помощью регуляризованных определителей. Например, для факторов Эйлера дзета-функции Римана это единообразное описание выглядит так:

${\displaystyle \zeta _{p}(s)=\det {}_{\infty }\left({\frac {1}{2\pi }}(s-\Theta )|R_{p})\right)^{-1}.}$

Здесь p - либо простое число, либо бесконечность, соответствующие неархимедовым факторам Эйлера и архимедовым факторам Эйлера соответственно, а R _p - пространство конечных вещественных рядов Фурье на R / log ( p ) Z для простого числа p , и R _∞ = R [exp (−2 y )]. Наконец, Θ - это производная R -действия, заданного сдвигом таких функций. Денингер (1994) также продемонстрировал подобный унифицирующий подход для ε-факторов (которые выражают соотношение между завершенными L- функциями при s и 1−с ).

Сайт арифметики [ править ]

Эти результаты привели Deninger предложить программу , касающуюся существование «арифметика сайта» Y , связанный с компактификацией от Spec Z . Среди других свойств, этот сайт будет оснащен действием из R , а каждый простое число р будет соответствовать замкнутой орбите R -действия лог длины ( р ). Более того, аналогии между формулами аналитической теории чисел и динамикой на слоеных пространствах привели Денингера к предположению о существовании слоения на этом узле. Более того, предполагается, что на этом узле существует бесконечномерная теория когомологий, такая что L-функция мотива M задается формулой

${\displaystyle L(M,s)=\prod _{i=0}^{2}\det {}_{\infty }\left({\frac {1}{2\pi }}(s-\Theta )|H_{c}^{i}(Y,F(M))\right).}$

Здесь М представляет собой мотив , такие как мотивы ч ^п ( X ) , происходящий в гипотезе Бейлинсона, и Р ( М ) задуман , чтобы быть пучком на Y присоединен к подающим М . Оператор Θ является инфинитезимальным генератором из потока , заданного R -действия. Согласно этой программе, гипотеза Римана была бы следствием свойств, параллельных положительности спаривания пересечений в теории Ходжа . Вариант формулы следа Лефшецана этом сайте, что могло бы быть частью этой предположительной установки, было доказано другими способами Денингером (1993) . В 2010 году , Deninger доказал , что классические домыслы Бейлинсон и Блох , касающиеся теории пересечений на алгебраических циклов бы дальнейшие последствия его программы.

Эта программа была рассмотрена Денингером в его выступлениях на Европейском конгрессе математиков в 1992 г. , на Международном конгрессе математиков в 1998 г. , а также Лейхтнамом (2005) . В 2002 году Денингер построил слоеное пространство, которое соответствует эллиптической кривой над конечным полем , а Хессельхольт (2016) показал, что дзета-функция Хассе-Вейля гладкого собственного многообразия над F _p может быть выражена с помощью регуляризованных определителей с использованием топологических определителей Хохшильда. гомология. Кроме того, аналогия между узлами и простыми числами плодотворно изучалась в арифметической топологии . Однако по состоянию на 2018 год построение слоеного пространства, соответствующего Spec Z, остается неуловимым.

Векторные расслоения на p -адических кривых [ править ]

В серии совместных работ с Аннет Вернер изучаются векторные расслоения на p -адических кривых. Классическим результатом, мотивирующим это исследование, является теорема Нарасимхана – Сешадри , краеугольный камень соответствия Симпсона . Она утверждает , что векторное расслоение на компактной римановой поверхности X является стабильным , если оно возникает из унитарного представления из фундаментальной группы П ₁ ( Х ).

В Deninger & Werner (2005) установили р -адический его аналог: для гладкой проективной алгебраической кривой над С _р , полученный путем замены базы из , они построили действие этальной фундаментальной группы П ₁ (Х) на волокнах на определенных векторные расслоения, включая расслоения степени 0 и потенциально сильно полустабильные редукции. В другой работе 2005 , они связаны полученные представления фундаментальной группы кривой X с представлениями модуля Tate из якобиева многообразия из X . В${\displaystyle X/{\overline {\mathbf {Q} }}_{p}}$В 2007 и 2010 годах они продолжили эту работу, показав, что такие векторные расслоения образуют таннаковскую категорию, которая сводится к идентификации этого класса векторных расслоений как категории представлений определенной группы.

Слоения и группа Гейзенберга [ править ]

В нескольких совместных работах Денингер и Вильгельм Сингхоф изучали факторные n -мерной группы Гейзенберга H по стандартной решетке, состоящей из целочисленных матриц,

X = H / Γ,

с разных точек зрения. В 1984 году , они вычислили е-инвариант из X в терминах z , (- п ), что приводит к построению элементов в стабильных гомотопических групп сфер сколь угодно большого порядка. В 1988 году , они использовали методы аналитической теории чисел , чтобы дать оценки по размерности когомологий из нильпотентных алгебр Ли .

Классический факт теории Ходжа о том, что любой класс когомологий на кэлеровом многообразии допускает единственную гармонику, был обобщен Альваресом Лопесом и Кордюковым (2001) на римановы слоения . Денингер и Сингхоф (2001) показывают, что слоения на указанном выше пространстве X , удовлетворяющие лишь немного более слабым условиям, не допускают таких теоретических свойств Ходжа. В другой совместной работе 2001 года они установили динамическую формулу следа Лефшеца: она связывает след оператора на гармонических формах с локальными следами, появляющимися на замкнутых орбитах (на некоторых слоеных пространствах с R-действие). Этот результат служит подтверждением упомянутой выше программы Денингера в том смысле, что он проверяет предсказание, сделанное этой программой с аналитической стороны, т. Е. То, что касается динамики на слоеных пространствах.

Энтропия и меры Малера [ править ]

Другая группа статей Денингера вращается вокруг космоса.

${\displaystyle X_{f}:=(\mathbf {Z} \Gamma /\mathbf {Z} \Gamma f){\widehat {\ }}\ ,}$

где Γ - дискретная группа, f - элемент ее группового кольца Z Γ, а шляпа обозначает двойственное по Понтрягину . Для Γ = Z ^п и , Lind, Шмидт & Ward (1990) показал , что энтропия Г-действия на X _F задается мерой Mahler${\displaystyle f\in \mathbb {Z} [x_{1}^{\pm 1},\dots ,x_{n}^{\pm n}]}$

${\displaystyle m(f):=(2\pi i)^{-n}\int _{\mathbb {R} ^{n}/\Gamma }\log |f(z_{1},\dots ,z_{n})|{\frac {dz_{1}}{z_{1}}}\dots {\frac {dz_{n}}{z_{n}}}.}$

Более того, было известно, что меры Малера некоторых многочленов могут быть выражены через специальные значения некоторых L-функций. В 1997 году Денингер заметил, что подынтегральное выражение в определении меры Малера имеет естественное объяснение в терминах когомологий Делиня. Используя известные случаи гипотезы Бейлинсона, он вывел, что m ( f ) - это образ символа { f , t ₁ , ..., t _n } при регуляторе Бейлинсона, где многообразие является дополнением в n -мерном пространстве. тор нулевого множества f. Это привело к концептуальному объяснению вышеупомянутых формул для мер Малера. Бессер и Денингер (1999) и Денингер позже в 2009 году перенесли эти идеи в p -адический мир, заменив регуляторное отображение Бейлинсона на когомологии Делиня регуляторным отображением на синтомические когомологии , а логарифм, появляющийся в определении энтропии р -адическая логарифм .

В 2006 и 2007 годах Денингер и Клаус Шмидт продвинули параллель между энтропией и мерами Малера за пределы абелевых групп, а именно аппроксимируемых конечных счетных дискретных аменабельных групп Γ. Они показали , что Γ-действие на X _е есть экспансивный тогда и только тогда , когда е обратим в L ¹ - свертка алгебры Г. Более того, логарифм определителя Фугледе-Кадисона на алгебре фон Неймана NΓ, ассоциированной с Γ (который заменяет меру Малера для Z ⁿ ), согласуется с энтропией вышеуказанного действия.

Векторы Витта [ править ]

Иоахим Кунц и Денингер вместе работали над векторами Витта . В двух работах около 2014 года, они упростили теорию, давая представление кольца векторов Витта с точкой зрения завершения моноидной алгебры Z R . Этот подход позволяет избежать универсальных многочленов, используемых в классическом определении сложения векторов Витта.

Избранная библиография [ править ]

Двойственность Артина – Вердье [ править ]

• Deninger, Кристофер (1984), "О Артина- Вердиера двойственности для функциональных полей", Mathematische Zeitschrift , 188 (1): 91-100, DOI : 10.1007 / BF01163876 , МР  0767366
• - (1986), «Расширение двойственности Артина – Вердье на неторсионные пучки», J. Reine Angew. Математика. , +1986 (366): 18-31, DOI : 10,1515 / crll.1986.366.18 , МР  0833011CS1 maint: numeric names: authors list (link)
• -; Wingberg, Кей (1986), "Артина- Вердье двойственность для п - мерных локальных полей , связанных с более алгебраические K -пучков", Журнал теоретической и прикладной алгебры , 43 (3): 243-255, DOI : 10.1016 / 0022-4049 ( 86) 90066-6 , Руководство по ремонту  0868985CS1 maint: numeric names: authors list (link)
• - (1987), "Двойственность в этальных когомологиях одномерных собственных схем и обобщения", Mathematische Annalen , 277 (3): 529-541, DOI : 10.1007 / BF01458330 , МР  0891590CS1 maint: numeric names: authors list (link)

L -функции и гипотеза Бейлинсона [ править ]

• -; Вингберг, Кей (1988), "О гипотезах Бейлинсона для эллиптических кривых с комплексным умножением", гипотезах Бейлинсона о специальных значениях L- функций , Perspect. Math., 4 , Бостон, Массачусетс: Academic Press, MR  0944996CS1 maint: numeric names: authors list (link)
• - (1989), "Высшие регуляторы и L- серия по Гекке мнимых квадратичных полей. I", Inventiones Mathematicae , 96 (1): 1–69, Bibcode : 1989InMat..96 .... 1D , doi : 10.1007 / BF01393970 , Руководство по ремонту  0981737CS1 maint: numeric names: authors list (link)
• - (1990), "Высшие регуляторы и Гекке L -рядов мнимых квадратичных полей II.", Анналы математики , второй серии 132 (1): 131-158, DOI : 10,2307 / 1971502 , JSTOR  1971502 , МР  1059937CS1 maint: numeric names: authors list (link)
• -; Шолль, Энтони Дж. (1991), «Гипотезы Беллинсона»,L -функции и арифметика (Дарем, 1989) , London Math. Soc. Lecture Note Ser., 153 , Cambridge Univ. . Пресс, стр 173-209, DOI : 10,1017 / CBO9780511526053.007 , ISBN 9780521386197, Руководство по ремонту  1110393CS1 maint: numeric names: authors list (link)

• - (1991), "О Г-факторов прикреплены к мотивам", Inventiones Mathematicae , 104 (2): 245-261, DOI : 10.1007 / BF01245075 , МР  1098609CS1 maint: numeric names: authors list (link)
• - (1992), «Локальные L- факторы мотивов и регуляризованные детерминанты», Inventiones Mathematicae , 107 (1): 135–150, Bibcode : 1992InMat.107..135D , doi : 10.1007 / BF01231885 , MR  1135468CS1 maint: numeric names: authors list (link)
• - (1993), «Формулы следов Лефшеца и явные формулы в аналитической теории чисел» , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1993 (441): 1–15, doi : 10.1515 / crll.1993.441.1 , Zbl  0782.11034CS1 maint: numeric names: authors list (link)
• - (1994a), "Мотивные ε-факторы на бесконечности и регуляризованные измерения", Indag. Математика. (NS) , 5 (4): 403-409, DOI : 10,1016 / 0019-3577 (94) 90015-9 , МР  1307961CS1 maint: numeric names: authors list (link)
• - (1994b), "Мотивные L- функции и регуляризованные детерминанты", Мотивы (Сиэтл, Вашингтон, 1991) , Proc. Симпози. Pure Math., 55 , Providence, RI: Amer. Математика. Soc., MR  1265547CS1 maint: numeric names: authors list (link)
• - (1994c), "Доказательства когомологического подхода к аналитической теории чисел", Первый Европейский математический конгресс, Vol. I (Париж, 1992) , Прогр. Math., 119 , Birkhäuser, Basel, стр. 491–510, MR  1341834CS1 maint: numeric names: authors list (link)
• -; Нарт, Энрик (1995), "О Ext ² мотивов над арифметическими кривыми", Amer. J. Math. , 117 (3): 601-625, DOI : 10,2307 / 2375082 , JSTOR  2375082 , МР  1333938CS1 maint: numeric names: authors list (link)
• - (1995), "Операции высшего порядка в когомологиях Делиня", Инвент. Математика. , 120 (2): 289-315, Bibcode : 1995InMat.120..289D , DOI : 10.1007 / BF01241130 , МР  1329043CS1 maint: numeric names: authors list (link)
• - (1998), "Некоторые аналогии между теорией чисел и динамическими системами на слоеных пространствах", Труды Международного конгресса математиков, Vol. I (Берлин, 1998 г.) , Documenta Mathematica (Extra Vol. I), стр. 163–186, MR  1648030CS1 maint: numeric names: authors list (link)
• - (2002), «О природе« явных формул »в аналитической теории чисел --- простой пример», Теоретико-числовые методы (Iizuka, 2001) , Dev. Math., 8 , Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., Pp. 97–118, arXiv : math / 0204194 , doi : 10.1007 / 978-1-4757-3675-5_7 , ISBN 978-1-4419-5239-4, MR  1974137CS1 maint: numeric names: authors list (link)
• - (2010), «Стратегия Гильберта-Пойа и пары высот», сила Казимира, операторы Казимира и гипотеза Римана , Walter de Gruyter, Berlin, pp. 275–283, MR  2777722CS1 maint: numeric names: authors list (link)

p -адические векторные расслоения [ править ]

• -; Вернер Аннетт (2005), "векторные расслоения на р -адических кривых и параллельный перенос" , Анналы Научного де l'Эколь Нормали , Quatrième Серии, 38 (4): 553-597, DOI : 10.1016 / j.ansens.2005.05 .002 , Руководство по ремонту  2172951CS1 maint: numeric names: authors list (link)
• -; Вернер, Аннетт (2005), «Линейные пучки и p -адические символы», Числовые и функциональные поля - два параллельных мира , Progr. Math., 239 , стр. 101–131, arXiv : math / 0407511 , doi : 10.1007 / 0-8176-4447-4_7 , ISBN 978-0-8176-4397-3, Руководство по ремонту  2176589CS1 maint: numeric names: authors list (link)
• -; Вернер, Аннетт (2007), "О двойственности Таннака для векторных расслоений на p -адических кривых", Алгебраические циклы и мотивы. Vol. 2 , London Math. Soc. Lecture Note Ser., 344 , pp. 94–111, MR  2187151.CS1 maint: numeric names: authors list (link)
• -; Вернер, Аннетт (2010), "Векторные расслоения на p -адических кривых и параллельный перенос II", Алгебраические и арифметические структуры пространств модулей (Саппоро, 2007) , Adv. Stud. . Чистая Математика, 58 ., Стр 1-26, DOI : 10,2969 / ASPM / 05810001 , МР  2676155CS1 maint: numeric names: authors list (link)

Группа Гейзенберга, алгебры Ли и слоения [ править ]

• -; Сингхоф, Вильгельм (1984), " e -инвариант и спектр лапласиана для компактных нильмногообразий, покрываемых группами Гейзенберга", Inventiones Mathematicae , 78 (1): 101–112, Bibcode : 1984InMat..78..101D , doi : 10.1007 / BF01388716 , Руководство по ремонту  0762355CS1 maint: numeric names: authors list (link)
• -; Сингхоф, Вильгельм (1988), "О когомологиях нильпотентных алгебр Ли", Бюлл. Soc. Математика. Франция , 116 (1): 3-14, DOI : 10,24033 / bsmf.2087 , МР  0946276CS1 maint: numeric names: authors list (link)
• -; Сингхоф, Вильгельм (2001), "Контрпример к гладкому послойному разложению Ходжа для общих слоений и к типу формул динамического следа", Ann. Inst. Фурье (Гренобль) , 51 (1): 209-219, DOI : 10,5802 / aif.1821 , МР  1821074CS1 maint: numeric names: authors list (link)
• -; Сингхоф, Вильгельм (2001b), «Заметка о формулах динамических следов», Динамические, спектральные и арифметические дзета-функции (Сан-Антонио, Техас, 1999) , Contemp. Math., 290 , AMS, стр. 41–55, DOI : 10.1090 / conm / 290/04572 , MR  1868467CS1 maint: numeric names: authors list (link)

Энтропия [ править ]

• - (1997), «Делиня периоды смешанных мотивов, К -теория и энтропии некоторого Z ^п -действий», журнал Американского математического общества , 10 (2): 259-281, DOI : 10,1090 / S0894-0347- 97-00228-2 , Руководство по ремонту  1415320CS1 maint: numeric names: authors list (link)
• - (2006), «Определители Фугледе-Кадисона и энтропия для действий дискретных аменабельных групп», Журнал Американского математического общества , 19 (3): 737–758, arXiv : math / 0502233 , doi : 10.1090 / S0894-0347- 06-00519-4 , MR  2220105CS1 maint: numeric names: authors list (link)

• -; Шмидт, Клаус (2007), «Расширяющие алгебраические действия дискретных финитно аппроксимируемых аменабельных групп и их энтропия», Эргодическая теория и динамические системы , 27 (3): 769–786, arXiv : math / 0605723 , doi : 10.1017 / S0143385706000939 , MR  2322178CS1 maint: numeric names: authors list (link)

• Бессер, Амнон; Денингер, Кристофер (1999), « p -адические меры Малера», Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1999 (517): 19–50, doi : 10.1515 / crll.1999.093 , MR  1728549
• - (2009), « p -адическая энтропия и p -адический определитель Фугледе-Кадисона», Алгебра, арифметика и геометрия: им. Ю.А. И. Манин. Vol. Я , Прогр. Math., 269 , Birkhäuser, стр. 423–442, arXiv : math / 0608539 , doi : 10.1007 / 978-0-8176-4745-2_10 , ISBN 978-0-8176-4744-5, MR  2641178CS1 maint: numeric names: authors list (link)

Векторы Витта [ править ]

• Кунц, Иоахим; Денингер, Кристофер (2015), «Векторные кольца Витта и относительный комплекс де Рама Витта», Journal of Algebra , 440 : 545–593, arXiv : 1410.5249 , doi : 10.1016 / j.jalgebra.2015.05.029 , MR  3373405
• Кунц, Иоахим; Deninger, Кристофер (2014), "Альтернатива векторов Витта", Мюнстер Журнал математики , 7 (1): 105-114, Arxiv : 1311,2774 , Bibcode : 2013arXiv1311.2774C , DOI : 10,1080 / 18756891.2013.858905 , МР  3271241

Ссылки [ править ]

• Альварес Лопес, Хесус; Кордюков, Ю. А. (2001), "Долгое время поведение потока послойного тепла для римановых слоений", Compositio Mathematica , 125 (2): 129-153, DOI : 10,1023 / A: 1002492700960 , МР  1815391
• Бейлинсон А.А. (1984), "Высшие регуляторы и значения L- функций", Современные проблемы математики, Vol. 24 , Итоги науки и техники, Москва: Акад. Наук СССР, Всесоюз. Inst. Научн. и Техн. Информ., MR  0760999
• Geisser, Томас (2010), "Двойственность с помощью комплексов цикла", Анналы математики , второй серии 172 (2): 1095-1127, DOI : 10.4007 / annals.2010.172.1095 , MR  2680487
• Гончаров, А. Б. (1996), "гипотеза Deninger о L - функциях эллиптических кривых при х = 3", журнал математических наук , 81 (3): 2631-2656, да : 10.1007 / BF02362333 , МР  1420221
• Хессельхольт, Ларс (2016), Топологические гомологии Хохшильда и дзета-функция Хассе-Вейля , Contemporary Mathematics, 708 , стр. 157–180, arXiv : 1602.01980 , Bibcode : 2016arXiv160201980H , doi : 10.1090 / conm / 708/14264 , ISBN 9781470429119
• Лейхтнам, Эрик (2005), «Приглашение к работе Денингера по арифметическим дзета-функциям», Геометрия, спектральная теория, группы и динамика , Contemp. Math., 387 , Providence, RI: Amer. Математика. . Soc . , С. 201-236, DOI : 10,1090 / conm / 387/07243 , ISBN 9780821837108, Руководство по ремонту  2180209
• Линд, Дуглас; Шмидт, Клаус; Уорд, Том (1990), "Мера Малера и энтропия для коммутирующих автоморфизмов компактных групп" (PDF) , Inventiones Mathematicae , 101 (3): 593–629, Bibcode : 1990InMat.101..593L , doi : 10.1007 / BF01231517 , Руководство по ремонту  1062797
• Нековарж, Ян (1994), "Гипотезы Беллинсона", Мотивы (Сиэтл, Вашингтон, 1991) , Proc. Симпози. Pure Math., 55 , Providence, RI: Amer. Математика. Soc., MR  1265544

Внешние ссылки [ править ]

• Веб-сайт Мюнстерского университета