В математике , Коломбо алгебра является алгеброй определенного вида , содержащего пространство распределений Шварца . Хотя в классической теории распределений общее умножение распределений невозможно, алгебры Коломбо обеспечивают для этого строгую основу.
Такое умножение распределений долгое время считалось невозможным из-за результата Л. Шварца о невозможности, который в основном утверждает, что не может быть дифференциальной алгебры, содержащей пространство распределений и сохраняющей произведение непрерывных функций. Однако, если кто-то хочет сохранить только произведение гладких функций, такая конструкция становится возможной, как впервые продемонстрировал Коломбо.
Можно сказать, что как математический инструмент алгебры Коломбо объединяют в одной структуре обработку сингулярностей, дифференцирование и нелинейные операции, снимая ограничения теории распределений. Эти алгебры нашли множество применений в области дифференциальных уравнений в частных производных, геофизики, микролокального анализа и общей теории относительности.
Результат невозможности Шварца
Попытка встроить пространство распределений на в ассоциативную алгебру , естественными кажутся следующие требования:
- линейно вложен в такая, что постоянная функция становится единством в ,
- Есть оператор частной производной на который является линейным и удовлетворяет правилу Лейбница,
- ограничение к совпадает с обычной частной производной,
- ограничение к совпадает с поточечным произведением.
Однако результат Л. Шварца [1] означает, что эти требования не могут выполняться одновременно. То же самое верно, даже если в 4. заменить от , пространство раз непрерывно дифференцируемые функции. Хотя этот результат часто интерпретируется как утверждение, что общее умножение распределений невозможно, на самом деле он только утверждает, что нельзя неограниченно комбинировать дифференцирование, умножение непрерывных функций и наличие сингулярных объектов, таких как дельта Дирака.
Алгебры Коломбо строятся так, чтобы удовлетворять условиям 1. – 3. и условие, подобное 4., но с заменен на , т.е. они сохраняют произведение только гладких (бесконечно дифференцируемых) функций.
Основная идея
Алгебра Коломбо [2] определяется как фактор-алгебра
Здесь алгебра умеренных функций на - алгебра семейств гладких регуляризаций ( f ε )
из гладких функций на(где R + = (0, ∞) является " регуляризации " параметр ε), такое , что для всех компактных подмножеств K изи всех мультииндексов α существует такое N > 0, что
идеал от незначительных функций определяется таким же образом , но с частными производными вместо ограниченных O ( ε + N ) для всех N > 0.
Встраивание дистрибутивов
Пространство (а) распределений Шварца может быть вложено в упрощенную алгебру с помощью (покомпонентной) свертки с любым элементом алгебры, имеющим в качестве представителя δ-сеть , то есть семейство гладких функций такой, что в D ' при ε → 0.
Это вложение неканонично, поскольку зависит от выбора δ-сети. Однако существуют версии алгебр Коломбо (так называемые полные алгебры), которые допускают канонические вложения распределений. Хорошо известная полная версия получается добавлением смягчителей в качестве второго набора индексации.
Смотрите также
Заметки
Рекомендации
- Коломбо Дж. Ф. Новые обобщенные функции и умножение распределений . Северная Голландия, Амстердам, 1984 год.
- Коломбо, Дж. Ф., Элементарное введение в новые обобщенные функции . Северная Голландия, Амстердам, 1985 год.
- Недельков М., Пилипович С. , Скарпалезос Д. Линейная теория обобщенных функций Коломбо , Аддисон Уэсли, Лонгман, 1998.
- Grosser, M., Kunzinger, M., Oberguggenberger, M., Steinbauer, R .; Геометрическая теория обобщенных функций с приложениями к общей теории относительности , Математика рядов Спрингера и ее приложения, Vol. 537, 2002; ISBN 978-1-4020-0145-1 .