Контролируемые ворота НЕ

Классическим аналогом ворот CNOT является обратимый вентиль XOR .

Как вентиль CNOT может использоваться (с вентилями Адамара ) в вычислениях.

В информатике , то контролируемые НЕ ворота (также CN или CNOT ) представляют собой квантовый логический элемент , который является важным компонентом в строительстве затвора на основе квантового компьютера . ^[1] Его можно использовать для запутывания и распутывания состояний Белла . Любую квантовую схему можно смоделировать с произвольной степенью точности, используя комбинацию вентилей CNOT и вращения отдельных кубитов . ^[1]

Этот вентиль также используется в классических обратимых вычислениях .

Операция [ править ]

Вентиль CNOT работает с квантовым регистром, состоящим из 2 кубитов. Шлюз CNOT переворачивает второй кубит (целевой кубит) тогда и только тогда, когда первый кубит (управляющий кубит) является . ${\ displaystyle | 1 \ rangle}$

Перед		После
Контроль	Цель	Контроль	Цель
${\ displaystyle \| 0 \ rangle}$	${\ displaystyle \| 0 \ rangle}$	${\ displaystyle \| 0 \ rangle}$	${\ displaystyle \| 0 \ rangle}$
${\ displaystyle \| 0 \ rangle}$	${\ displaystyle \| 1 \ rangle}$	${\ displaystyle \| 0 \ rangle}$	${\ displaystyle \| 1 \ rangle}$
${\ displaystyle \| 1 \ rangle}$	${\ displaystyle \| 0 \ rangle}$	${\ displaystyle \| 1 \ rangle}$	${\ displaystyle \| 1 \ rangle}$
${\ displaystyle \| 1 \ rangle}$	${\ displaystyle \| 1 \ rangle}$	${\ displaystyle \| 1 \ rangle}$	${\ displaystyle \| 0 \ rangle}$

Если являются единственными допустимыми входными значениями для обоих кубитов, то выход TARGET элемента CNOT соответствует результату классического элемента XOR . Фиксация CONTROL as , выход TARGET логического элемента CNOT дает результат классического логического элемента NOT . $\{|0\rangle ,|1\rangle \}$ $|1\rangle$

В более общем смысле, входные данные могут быть линейной суперпозицией . Вентиль CNOT преобразует квантовое состояние: $\{|0\rangle ,|1\rangle \}$

$a|00\rangle +b|01\rangle +c|10\rangle +d|11\rangle$

в:

$a|00\rangle +b|01\rangle +c|11\rangle +d|10\rangle$

Действие элемента CNOT может быть представлено матрицей ( форма матрицы перестановок ):

\operatorname {CNOT} ={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}.

Первая экспериментальная реализация затвора CNOT была осуществлена в 1995 г. Здесь использовался единственный ион бериллия в ловушке . Два кубита были закодированы в оптическое состояние и в колебательное состояние иона внутри ловушки. Во время эксперимента надежность CNOT-операции была измерена и составляла порядка 90%. ^[2]

В дополнение к обычному управляемому вентилю НЕ можно было построить вентиль НЕ с функциональным управлением, который принимает на вход произвольное число n +1 кубитов, где n +1 больше или равно 2 ( квантовый регистр ). Этот вентиль переворачивает последний кубит регистра тогда и только тогда, когда встроенная функция с первыми n кубитами в качестве входных данных возвращает 1. Управляемый функцией вентиль NOT является важным элементом алгоритма Дойча – Йозса .

Поведение в преобразованном базисе Адамара [ править ]

Если рассматривать только в вычислительной базе , поведение C _NOT похоже на эквивалентный классический вентиль. Однако простота обозначения одного кубита как элемента управления, а другого как цели не отражает сложности того, что происходит для большинства входных значений обоих кубитов. $\{|0\rangle ,|1\rangle \}$

Ворота CNOT в преобразованном базисе Адамара.

Понимание может быть достигнуто путем выражения ворот CNOT относительно преобразованного базиса Адамара . Адамара трансформировали основанием ^[а] из одного кубита регистра задается $\{|+\rangle ,|-\rangle \}$

|+\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle ),\qquad |-\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -|1\rangle ),

и соответствующая основа 2-кубитного регистра равна

|++\rangle =|+\rangle \otimes |+\rangle ={\frac {1}{2}}(|0\rangle +|1\rangle )\otimes (|0\rangle +|1\rangle )={\frac {1}{2}}(|00\rangle +|01\rangle +|10\rangle +|11\rangle )

,

и т.д. При просмотре CNOT в этом базисе состояние второго кубита остается неизменным, а состояние первого кубита инвертируется в соответствии с состоянием второго бита. (Подробнее см. Ниже.) «Таким образом, в этой основе смысл того, какой бит является управляющим битом, а какой - инвертированным целевым битом . Но мы вообще не изменили преобразование, а только то, как мы думаем об этом». ^[3]

«Вычислительный» базис является собственным базисом для спина в Z-направлении, тогда как базис Адамара является собственным базисом для спина в X-направлении. Переключение X и Z и кубитов 1 и 2 восстанавливает исходное преобразование » ^[4]. Это выражает фундаментальную симметрию вентилей CNOT. $\{|0\rangle ,|1\rangle \}$ $\{|+\rangle ,|-\rangle \}$

Наблюдение за тем, что оба кубита (в равной степени) затрагиваются взаимодействием C _NOT, важно при рассмотрении потока информации в запутанных квантовых системах. ^[5]

Детали вычисления [ править ]

Теперь перейдем к деталям вычислений. Работа по каждому из базисных состояний Адамара, первый кубит переворачивает между и , когда второй кубит находится : $|+\rangle$ $|-\rangle$ $|-\rangle$

Исходное состояние в базисе Адамара	Эквивалентное состояние в вычислительной базе	Применить оператора	Состояние в вычислительной базе после C _NOT	Эквивалентное состояние в базисе Адамара
$\|++\rangle$	${\frac {1}{2}}(\|00\rangle +\|01\rangle +\|10\rangle +\|11\rangle )$	C _НЕ	${\frac {1}{2}}(\|00\rangle +\|01\rangle +\|11\rangle +\|10\rangle )$	$\|++\rangle$
$\|+-\rangle$	${\frac {1}{2}}(\|00\rangle -\|01\rangle +\|10\rangle -\|11\rangle )$	C _НЕ	${\frac {1}{2}}(\|00\rangle -\|01\rangle +\|11\rangle -\|10\rangle )$	$\|--\rangle$
$\|-+\rangle$	${\frac {1}{2}}(\|00\rangle +\|01\rangle -\|10\rangle -\|11\rangle )$	C _НЕ	${\frac {1}{2}}(\|00\rangle +\|01\rangle -\|11\rangle -\|10\rangle )$	$\|-+\rangle$
$\|--\rangle$	${\frac {1}{2}}(\|00\rangle -\|01\rangle -\|10\rangle +\|11\rangle )$	C _НЕ	${\frac {1}{2}}(\|00\rangle -\|01\rangle -\|11\rangle +\|10\rangle )$	$\|+-\rangle$

Квантовая схема, которая выполняет преобразование Адамара, за которым следует C _{NOT, а} затем другое преобразование Адамара, может быть описана в терминах матричных операторов:

$(H 1 \otimes H 1) -1 . C НЕ . (H 1 \otimes H 1)$

Преобразование Адамара с одним кубитом, H ₁ , является отрицанием своего собственного обратного. Тензорное произведение двух преобразований Адамара, действующих (независимо) на двух кубитах, обозначено как H ₂ . Поэтому мы можем записать матрицы как:

$H 2 . C НЕ . H 2$

При перемножении получается матрица, в которой члены и меняются местами , а члены и остаются без изменений. Это эквивалентно вентилю CNOT, где кубит 2 является управляющим кубитом, а кубит 1 - целевым кубитом: $|01\rangle$ $|11\rangle$ $|00\rangle$ $|10\rangle$

${\begin{aligned}{\frac {1}{4}}&{\begin{bmatrix}{\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{array}}\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}{\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{array}}\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}{\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{array}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\end{array}}\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Построение состояния колокола $|\Phi ^{+}\rangle$ [ править ]

Обычно вентиль C _NOT используется для максимального запутывания двух кубитов в состояние Белла ; это является частью алгоритмов сверхплотного кодирования , квантовой телепортации и запутанной квантовой криптографии . $|\Phi ^{+}\rangle$

Для построения входы A (управление) и B (цель) для _{логического} элемента C _NOT : $|\Phi ^{+}\rangle$

${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )_{A}$ а также $|0\rangle _{B}$

После применения C _NOT , результирующее состояние Bell State имеет свойство, состоящее в том, что отдельные кубиты могут быть измерены с использованием любого базиса, и всегда будет иметь 50/50 шанс разрешения для каждого состояния. Фактически, отдельные кубиты находятся в неопределенном состоянии. Корреляция между двумя кубитами - это полное описание состояния двух кубитов; если мы оба выберем одну и ту же основу для измерения обоих кубитов и сравнения заметок, измерения будут идеально коррелировать. ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )$

При рассмотрении вычислительного базиса кажется, что кубит A влияет на кубит B. Изменение нашей точки зрения на базис Адамара показывает, что кубит B оказывает симметричное влияние на кубит A.

Состояние ввода можно также рассматривать как:

$|+\rangle _{A}$ а также ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+\rangle +|-\rangle )_{B}$

По мнению Адамара, контрольные и целевые кубиты концептуально поменять местами , и кубит А инвертируется , когда кубит Б . Состояние выхода после применения _{логического} элемента C _NOT, которое, как можно показать ^[b], является точно таким же состоянием, что и . $|-\rangle _{B}$ ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|++\rangle +|--\rangle )$ ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )$

Ворота C-ROT [ править ]

Вентиль C-ROT (управляемое вращение Раби ) эквивалентен вентилю C-NOT, за исключением вращения ядерного спина вокруг оси z. ^[6]^[7] $\pi /2$

См. Также [ править ]

Ворота Тоффоли ( ворота с управляемым контролем - НЕ)

Заметки [ править ]

^ Обратите внимание, чтоэто можно построить, применив вентиль Адамара к кубиту, установленному в, и аналогично для $|+\rangle$ $|0\rangle$ $|-\rangle$
^ ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|++\rangle +|--\rangle )$ $={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+\rangle _{A}|+\rangle _{B}+|-\rangle _{A}|-\rangle _{B})$ $={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}((|0\rangle _{A}+|1\rangle _{A})(|0\rangle _{B}+|1\rangle _{B})+(|0\rangle _{A}-|1\rangle _{A})(|0\rangle _{B}-|1\rangle _{B}))$ $={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}((|00\rangle +|01\rangle +|10\rangle +|11\rangle )+(|00\rangle -|01\rangle -|10\rangle +|11\rangle ))$ $={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )$

Ссылки [ править ]

^ a b Нильсен, Майкл А .; Чуанг, Исаак (2000). Квантовые вычисления и квантовая информация . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0521632358. OCLC 43641333 .
^ Монро, C .; Meekhof, D .; King, B .; Итано, Вт .; Вайнленд, Д. (1995). "Демонстрация фундаментального квантового логического шлюза" . Письма с физическим обзором . 75 (25): 4714–4717. Bibcode : 1995PhRvL..75.4714M . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.75.4714 . PMID 10059979 .
↑ Элеонора Г. Риффель ; Вольфганг Х. Полак (4 марта 2011 г.). Квантовые вычисления: мягкое введение . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. п. 80 . ISBN 978-0-262-01506-6. OCLC 742513505 .
^ Готтесман, Daniel (1998). С. П. Корни; Р. Дельбурго; П.Д. Джарвис (ред.). "Представление Гейзенберга квантовых компьютеров". Группа: Материалы XXII Международного коллоквиума по теоретическим методам групп в физике . Кембридж, Массачусетс: International Press. 22 (1999): 32–43. arXiv : квант-ph / 9807006 . Bibcode : 1998quant.ph..7006G .
^ Дойч, Дэвид; Хайден, Патрик (1999). «Информационный поток в запутанных квантовых системах». Труды Королевского общества A: математические, физические и инженерные науки . 456 (1999): 1759–1774. arXiv : квант-ph / 9906007 . Bibcode : 2000RSPSA.456.1759H . DOI : 10.1098 / RSPA.2000.0585 .
^ Чен, Почунг; Piermarocchi, C .; Шам, LJ (18 июля 2001 г.). «Управление динамикой экситонов в наноточеках для квантовых операций». Письма с физическим обзором . 87 (6): 067401. arXiv : cond-mat / 0102482 . Bibcode : 2001PhRvL..87f7401C . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.87.067401 .
^ Piermarocchi, C .; Чен, Почунг; Шам, ЖЖ; Steel, DG (30 сентября 2002 г.). «Оптическое РККИ-взаимодействие между заряженными полупроводниковыми квантовыми точками». Письма с физическим обзором . 89 (16): 167402. arXiv : cond-mat / 0202331 . Bibcode : 2002PhRvL..89p7402P . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.89.167402 . PMID 12398754 .

Внешние ссылки [ править ]

Майкл Уэстморленд: «Изоляция и информационный поток в квантовой динамике» - дискуссия вокруг C not gate

[3] Обратите внимание, чтоэто можно построить, применив вентиль Адамара к кубиту, установленному в, и аналогично для $|+\rangle$ $|0\rangle$ $|-\rangle$

[7] ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|++\rangle +|--\rangle )$ $={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|+\rangle _{A}|+\rangle _{B}+|-\rangle _{A}|-\rangle _{B})$ $={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}((|0\rangle _{A}+|1\rangle _{A})(|0\rangle _{B}+|1\rangle _{B})+(|0\rangle _{A}-|1\rangle _{A})(|0\rangle _{B}-|1\rangle _{B}))$ $={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}((|00\rangle +|01\rangle +|10\rangle +|11\rangle )+(|00\rangle -|01\rangle -|10\rangle +|11\rangle ))$ $={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|00\rangle +|11\rangle )$

[Nielsen-Chuang-1] Нильсен, Майкл А .; Чуанг, Исаак (2000). Квантовые вычисления и квантовая информация . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0521632358. OCLC 43641333 .

[2] Монро, C .; Meekhof, D .; King, B .; Итано, Вт .; Вайнленд, Д. (1995). "Демонстрация фундаментального квантового логического шлюза" . Письма с физическим обзором . 75 (25): 4714–4717. Bibcode : 1995PhRvL..75.4714M . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.75.4714 . PMID 10059979 .

[RieffelPolak2011-4] Элеонора Г. Риффель ; Вольфганг Х. Полак (4 марта 2011 г.). Квантовые вычисления: мягкое введение . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. п. 80 . ISBN 978-0-262-01506-6. OCLC 742513505 .

[HeisenbergRepresentationGottesman-5] Готтесман, Daniel (1998). С. П. Корни; Р. Дельбурго; П.Д. Джарвис (ред.). "Представление Гейзенберга квантовых компьютеров". Группа: Материалы XXII Международного коллоквиума по теоретическим методам групп в физике . Кембридж, Массачусетс: International Press. 22 (1999): 32–43. arXiv : квант-ph / 9807006 . Bibcode : 1998quant.ph..7006G .

[InformationFlowDeutschHayden-6] Дойч, Дэвид; Хайден, Патрик (1999). «Информационный поток в запутанных квантовых системах». Труды Королевского общества A: математические, физические и инженерные науки . 456 (1999): 1759–1774. arXiv : квант-ph / 9906007 . Bibcode : 2000RSPSA.456.1759H . DOI : 10.1098 / RSPA.2000.0585 .

[8] Чен, Почунг; Piermarocchi, C .; Шам, LJ (18 июля 2001 г.). «Управление динамикой экситонов в наноточеках для квантовых операций». Письма с физическим обзором . 87 (6): 067401. arXiv : cond-mat / 0102482 . Bibcode : 2001PhRvL..87f7401C . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.87.067401 .

[9] Piermarocchi, C .; Чен, Почунг; Шам, ЖЖ; Steel, DG (30 сентября 2002 г.). «Оптическое РККИ-взаимодействие между заряженными полупроводниковыми квантовыми точками». Письма с физическим обзором . 89 (16): 167402. arXiv : cond-mat / 0202331 . Bibcode : 2002PhRvL..89p7402P . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.89.167402 . PMID 12398754 .

[1]

Исходное состояние в базисе Адамара	Эквивалентное состояние в вычислительной базе	Применить оператора	Состояние в вычислительной базе после C _NOT	Эквивалентное состояние в базисе Адамара
$\|++\rangle$	${\frac {1}{2}}(\|00\rangle +\|01\rangle +\|10\rangle +\|11\rangle )$	C _НЕ	${\frac {1}{2}}(\|00\rangle +\|01\rangle +\|11\rangle +\|10\rangle )$	$\|++\rangle$
$\|+-\rangle$	${\frac {1}{2}}(\|00\rangle -\|01\rangle +\|10\rangle -\|11\rangle )$	C _НЕ	${\frac {1}{2}}(\|00\rangle -\|01\rangle +\|11\rangle -\|10\rangle )$	$\|--\rangle$
$\|-+\rangle$	${\frac {1}{2}}(\|00\rangle +\|01\rangle -\|10\rangle -\|11\rangle )$	C _НЕ	${\frac {1}{2}}(\|00\rangle +\|01\rangle -\|11\rangle -\|10\rangle )$	$\|-+\rangle$
$\|--\rangle$	${\frac {1}{2}}(\|00\rangle -\|01\rangle -\|10\rangle +\|11\rangle )$	C _НЕ	${\frac {1}{2}}(\|00\rangle -\|01\rangle -\|11\rangle +\|10\rangle )$	$\|+-\rangle$