DeGroot обучение

Обучение ДеГрута относится к типу процесса социального обучения на основе практического опыта. В общем виде эту идею высказал американский статистик Моррис Х. ДеГрут ; ^[1] антецеденты были сформулированы Джоном Р.П. Френчем ^[2] и Фрэнком Харари. ^[3] Модель использовалась в физике , информатике и наиболее широко в теории социальных сетей . ^[4]

Настройка и процесс обучения

Возьмем общество агентов, в котором каждый имеет свое мнение по предмету, представленному вектором вероятностей . Агенты не получают новой информации, на основе которой они могут обновлять свое мнение, но они общаются с другими агентами. Связи между агентами (кто знает кого) и весом, который они придают мнениям друг друга, представлены матрицей доверия, где - вес, который агент придает мнению агента . Доверие матрица является , таким образом , в отношениях один-к-одному с взвешенным , ориентированным графом , где существует ребро между и тогда и только тогда . Матрица доверия является стохастической${\ displaystyle n}$${\ displaystyle p (0) = (p_ {1} (0), \ dots, p_ {n} (0))}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T_ {ij}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle T_ {ij}> 0}$, его строки состоят из неотрицательных действительных чисел, сумма каждой строки равна 1.

Формально верования обновляются в каждый период как

${\ Displaystyle р (т) = Тп (т-1)}$

поэтому й период мнения связаны с первоначальными мнениями по${\ displaystyle t}$

${\ Displaystyle р (т) = Т ^ {т} р (0)}$

Сближение убеждений и консенсус

Важный вопрос заключается в том, сходятся ли убеждения до предела и друг другу в долгосрочной перспективе. Поскольку матрица доверия является стохастической , стандартные результаты теории цепей Маркова могут быть использованы для определения условий, при которых предел

${\ displaystyle p (\ infty) = \ lim _ {t \ to \ infty} p (t) = \ lim _ {t \ to \ infty} T ^ {t} p (0)}$

существует для любых исходных убеждений . Следующие случаи рассмотрены Голубом и Джексоном ^[5] (2010).${\ Displaystyle р (0) \ в [0,1] ^ {п}}$

Сильно связанный случай

Если граф социальной сети (представленный матрицей доверия) сильно связан , конвергенция убеждений эквивалентна каждому из следующих свойств:

• граф представлен является апериодическим${\ displaystyle T}$
• существует единственный левый собственный вектор из , соответствующих собственного значения 1, элементы которого сумму до 1 таким образом, что, для каждого , для каждого , где обозначает скалярное произведение .${\ displaystyle s}$${\ displaystyle T}$${\ Displaystyle р \ в [0,1] ^ {п}}$${\ displaystyle \ left (\ lim _ {t \ to \ infty} T ^ {t} p \ right) _ {i} = s \ cdot p}$${\ Displaystyle я \ в \ {1, \ точки, п \}}$${\ displaystyle \ cdot}$

Эквивалентность двух последних является прямым следствием теоремы Перрона – Фробениуса .

Общий случай

Необязательно иметь прочно связанную социальную сеть, чтобы иметь конвергентные убеждения, однако равенство ограничивающих убеждений в целом не соблюдается.

Будем говорить , что группа агентов будет закрыта , если для любого , только если . Убеждения сходятся тогда и только тогда, когда каждый набор узлов (представляющих индивидов), который сильно связан и замкнут, также апериодичен .${\ Displaystyle С \ substeq \ {1, \ точки, п \}}$${\ displaystyle i \ in C}$${\ displaystyle T_ {ij}> 0}$${\ displaystyle j \ in C}$

Консенсус

Говорят, что группа людей достигает консенсуса, если таковой имеется . Это означает, что в результате процесса обучения они, в некоторой степени, имеют одинаковую веру по этому вопросу.${\ displaystyle C}$${\ Displaystyle p_ {я} (\ infty) = p_ {j} (\ infty)}$${\displaystyle i,j\in C}$

В случае сильно связанной и апериодической сети вся группа достигает консенсуса. В общем, любая сильно связанная и замкнутая группа людей достигает консенсуса по каждому начальному вектору убеждений тогда и только тогда, когда он апериодичен. Если, например, есть две группы, удовлетворяющие этим предположениям, они достигают консенсуса внутри групп, но не обязательно консенсуса на уровне общества.${\displaystyle C}$

Влияние общества

Возьмем, к примеру, сильно связанную и апериодическую социальную сеть. В этом случае общее ограничивающее убеждение определяется исходными убеждениями через

${\displaystyle p(\infty )=s\cdot p(0)}$

где находится уникальная единица длина левой собственный вектор из соответствующих собственного значения 1. Вектор показывает , что агенты весов положить друг на друг начальных убеждений в пределе консенсуса. Таким образом, чем выше , тем больше влияние индивидуум имеет на консенсусной веры.${\displaystyle s}$${\displaystyle T}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle i}$

Свойство собственного вектора означает, что ${\displaystyle s=sT}$

${\displaystyle s_{i}=\sum _{j=1}^{n}T_{ji}s_{j}}$

Это означает, что влияние - это средневзвешенное значение влияния тех агентов, на которые обращают внимание , с весами их уровня доверия. Следовательно, влиятельные агенты характеризуются доверием со стороны других лиц с большим влиянием.${\displaystyle i}$${\displaystyle s_{j}}$${\displaystyle i}$

Примеры

Эти примеры приводятся в Jackson ^[4] (2008).

Сближение убеждений

Рассмотрим общество из трех человек со следующей матрицей доверия:

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}0&1/2&1/2\\1&0&0\\0&1&0\\\end{pmatrix}}}$

Следовательно, первый человек одинаково взвешивает убеждения двух других, в то время как второй слушает только первого, третий - только второго человека. Для этой структуры социального доверия предел существует и равен

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }T^{t}p(0)=\left(\lim _{t\to \infty }T^{t}\right)p(0)={\begin{pmatrix}2/5&2/5&1/5\\2/5&2/5&1/5\\2/5&2/5&1/5\\\end{pmatrix}}p(0)}$

так что вектор влияния есть, а общее мнение таково . На словах, независимо от первоначальных убеждений, люди достигают консенсуса, согласно которому первоначальные убеждения первого и второго человека имеют в два раза большее влияние, чем третье.${\displaystyle s=\left(2/5,2/5,1/5\right)}$${\displaystyle 2/5p_{1}(0)+2/5p_{2}(0)+1/5p_{3}(0)}$

Несходящиеся убеждения

Если мы изменим предыдущий пример так, чтобы третье лицо также слушало исключительно первого, мы получим следующую матрицу доверия:

${\displaystyle T={\begin{pmatrix}0&1/2&1/2\\1&0&0\\1&0&0\\\end{pmatrix}}}$

В этом случае для любого мы имеем${\displaystyle k\geq 1}$

${\displaystyle T^{2k-1}={\begin{pmatrix}0&1/2&1/2\\1&0&0\\1&0&0\\\end{pmatrix}}}$

а также

${\displaystyle T^{2k}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1/2&1/2\\0&1/2&1/2\\\end{pmatrix}}}$

так что не существует и верования не сходятся в пределе. Интуитивно понятно, что 1 обновляется на основе убеждений 2 и 3, в то время как 2 и 3 обновляются исключительно на основе убеждений 1, поэтому они обмениваются своими убеждениями в каждый период.${\displaystyle \lim _{t\to \infty }T^{t}}$

Асимптотические свойства в больших обществах: мудрость

Можно исследовать результат процесса обучения ДеГрута в больших обществах, то есть в пределе.${\displaystyle n\to \infty }$

Пусть предмет, по которому у людей есть мнения, будет «истинным состоянием» . Предположим , что люди имеют независимые сигналы шумные из (теперь верхний индекс относится ко времени, аргумент к размеру общества). Предположим, что для всех матрица доверия такова, что ограничивающие убеждения существуют независимо от исходных убеждений. Тогда последовательность обществ называется мудрой, если${\displaystyle \mu \in [0,1]}$${\displaystyle p_{i}^{(0)}(n)}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle n}$${\displaystyle T(n)}$${\displaystyle p_{i}^{(\infty )}(n)}$${\displaystyle \left(T(n)\right)_{n=1}^{\infty }}$

${\displaystyle \max _{i\leq n}|p_{i}^{(\infty )}-\mu |{\xrightarrow {\ p\ }}0}$

где означает сходимость по вероятности . Это означает, что если общество будет расти неограниченно, со временем у них появится общее и точное убеждение по неопределенному вопросу.${\displaystyle {\xrightarrow {\ p\ }}}$

Необходимое и достаточное условие мудрости можно дать с помощью векторов влияния . Последовательность обществ мудра тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\max _{i\leq n}s_{i}(n)=0}$

то есть общество мудро именно тогда, когда влияние даже самого влиятельного человека исчезает в пределе большого общества. Для дальнейшей характеристики и примеров см. Голуб и Джексон ^[5] (2010).

использованная литература