В плоской геометрии мера Эстерманн является числом , определенным для любого ограниченного выпуклого множества , описывающего , как близко к центрально - симметричному это. Это отношение площадей между данным набором и его наименьшим центрально-симметричным выпуклым надмножеством. Это один для набора, который является центрально-симметричным, и меньше единицы для наборов, замыкание которых не является центрально-симметричным. Он инвариантен относительно аффинных преобразований плоскости. [1]
Характеристики
Если является центром симметрии наименьшего центрально-симметричного множества, содержащего данное выпуклое тело , то само центрально-симметричное множество является выпуклой оболочкой объединения с его отражением через . [1]
Минимайзеры
Формами минимальной меры Эстермана являются треугольники, для которых эта мера равна 1/2. [1] [2] кривая постоянной ширины с наименьшей возможной мерой Эстерманн является треугольник рёло . [3]
История
Мера Эстермана названа в честь Теодора Эстерманна , который впервые в 1928 году доказал, что эта мера всегда не меньше 1/2 и что выпуклое множество с мерой Эстермана 1/2 должно быть треугольником. [4] [1] [2] Последующие доказательства были даны Фридрихом Вильгельмом Леви , Иштваном Фари , Исааком Ягломом и Владимиром Болтянским . [1]
Смотрите также
- Мера Ковнера – Безиковича , мера центральной симметрии, определяемая с использованием подмножеств вместо надмножеств
Рекомендации
- ^ a b c d e Грюнбаум, Бранко (1963), "Меры симметрии для выпуклых множеств", в Klee, Victor L. (ed.), Convexity , Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, 7 , Providence, Rhode Island: American Математическое общество, стр. 233–270, MR 0156259
- ^ а б Макеев, В. В. (2007), "Некоторые экстремальные задачи для векторных расслоений", Санкт - Петербург математический журнал , 19 (2): 131-155, DOI : 10,1090 / S1061-0022-08-00998-9 , MR 2333901
- ^ Финч, Стивен Р. (2003), «8.10 Константы треугольника Рило» (PDF) , Математические константы , Энциклопедия математики и ее приложений, Cambridge University Press, стр. 513–514 , ISBN 978-0-521-81805-6.
- ^ Эстерманн, Теодора (1928), "Über ден Vektorenbereich Эйнес konvexen Körpers", Mathematische Zeitschrift , 28 (1): 471-475, DOI : 10.1007 / BF01181177 , МР 1544971 , S2CID 119465984 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )