Оценка параметров сигнала с помощью методов инвариантности вращения

Пример разделения на подмассивы (2D ESPRIT).

В теории оценивания , оценка параметров сигналов с помощью вращательных инвариантных методов (ESPRIT) представляет собой метод , чтобы определить параметры смеси синусоид в фоновом шуме. Этот метод впервые предложен для оценки частоты ^[1], однако, с введением систем с фазированными решетками в повседневную технологию, он также используется для оценки угла прихода ^[2] .

Общее описание [ править ]

Определим вектор сигнала как,

${\ displaystyle a (w_ {k}) = [1 \ quad e ^ {- jw_ {k}} \ quad e ^ {- j2w_ {k}} \ quad ... \ quad e ^ {- j (m- 1) w_ {k}}] ^ {T}}$

где представляет собой радиальную частоту k-й синусоиды. Построим матрицу Вандермонда для K числа синусоид, например${\ displaystyle w_ {k}}$

${\displaystyle A=[a(w_{1})\quad a(w_{2})\quad ...\quad a(w_{K})]}$

Разобьем матрицу A на два набора, например

${\displaystyle A_{2}=[I_{m-1}\quad 0]A}$

а также

${\displaystyle A_{1}=[0\quad I_{m-1}]A}$где - единичная матрица размером (m-1) на (m-1). Ясно, что, содержит первые (m-1) строк A, а содержит последние (m-1) строки A.${\displaystyle I_{m-1}}$${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle A_{2}}$

Теперь запишем следующее соотношение:

${\displaystyle A_{2}=A_{1}H}$Здесь H - диагональная матрица, где ее диагональные элементы могут быть записаны в виде вектора, например,

${\displaystyle diag(H)=[e^{-jw_{1}}\quad ...\quad e^{-jw_{K}}]}$

Другими словами, диагональные элементы H являются комплексными экспонентами с радиальными частотами набора . Здесь ясно, что H применяет поворот к матрице . ESPRIT использует аналогичные повороты ковариационной матрицы измеренных данных.${\displaystyle \{w\}_{k=1}^{K}}$${\displaystyle A_{1}}$

Чтобы понять сам алгоритм, обозначим R как ковариационную матрицу измеренных данных. Вычислив разложение R по собственным значениям (с помощью таких алгоритмов, как разложение по сингулярным значениям ), можно записать следующее:

${\displaystyle R=UEV^{*}}$где E - диагональная матрица, которая содержит собственные значения R в порядке убывания. Здесь, найдя собственные значения, превышающие дисперсию шума, мы можем отделить ортонормированные собственные векторы от U, которые соответствуют этим собственным значениям. Это можно отметить, поскольку мы сохранили только первые K столбцов. ${\displaystyle S=U(:,1:K)}$

Как и раньше, мы можем сделать следующее разделение на S:

${\displaystyle S_{1}=[I_{m-1}\;0]\;S}$и .${\displaystyle S_{2}=[0\;I_{m-1}]\;S}$

Более того, существует связь между S и A, например , где содержание матрицы F известно, но не имеет отношения к текущему предмету. Мы можем вывести следующие соотношения:${\displaystyle S\;=\;A\;F}$

${\displaystyle S_{2}=A_{2}\;F\;=\;A_{1}\;H\;F\;=\;S_{1}\;F^{-1}\;H\;F\;=\;S_{1}\;P}$(где мы использовали и ).${\displaystyle S_{1}\;=\;A_{1}\;F}$${\displaystyle A_{1}\;=\;S_{1}\;F^{-1}}$

Ясно, что матрица P содержит информацию о вращении относительно частотного содержания, так что вращение на первом наборе ортонормированных собственных векторов уступает второму набору. Более того, собственные значения P равны диагональным элементам H. Следовательно, решая следующее уравнение для P,

${\displaystyle S_{2}=S_{1}P}$

мы можем оценить частотное содержание. Для этого указанное выше уравнение может быть решено псевдообратным методом (методом наименьших квадратов ).

Для этого можно написать. ${\displaystyle P=(S_{1}^{*}S_{1})^{-1}S_{1}^{*}S_{2}}$

Наконец, найдя углы собственных значений P, можно оценить набор .${\displaystyle \{w\}_{k=1}^{K}}$

Пример алгоритма [ править ]

Ниже приведен псевдокод для реализации алгоритма ESPRIT.

функция esprit ( y , model_order , number_of_sources ): m = model_order n = number_of_sources создать ковариационную матрицу R из зашумленных измерений y. Размер R будет (м на м). вычислить svd R [U, E, V] = svd (R)  получить ортонормированные собственные векторы, соответствующие источникам S = U (:, 1: n)   разбить ортонормированные собственные векторы на два S1 = S (1: m-1, :) и S2 = S (2: m, :)  вычислить P через LS ( оператор обратной косой черты MATLAB ) P = S1 \ S2  найти углы собственных значений оператора P w = угол (eig (P)) / (2 * pi * elspacing) doa = asind (w)% возвращает угол doa, принимая arcsin в градусах  верни доа

См. Также [ править ]

• Независимый компонентный анализ

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Paulraj, A .; Рой, Р .; Kailath, Т. (1985), "Оценка параметров сигналов Via вращательной инвариантности Techniques - Эспри", Девятнадцатый Asilomar конференция по Circuits, системы и компьютеры , стр 83-89,. Дои : 10,1109 / ACSSC.1985.671426 , ISBN 978-0-8186-0729-5.
• Рой, Р .; Кайлат, Т. (1989). "Esprit - Оценка параметров сигнала с помощью методов инвариантности вращения" (PDF) . Транзакции IEEE по акустике, речи и обработке сигналов . 37 (7): 984–995. DOI : 10.1109 / 29.32276 ..
• Ибрагим, AM; Марей, штат Мичиган; Мехамер, СФ; Мансур, ММ (2011). «Подход к защите на основе искусственной нейронной сети с использованием полной оценки наименьших квадратов параметров сигнала с помощью метода инвариантности вращения для линий передачи с компенсацией гибкой системы передачи переменного тока». Компоненты и системы электроэнергетики . 39 (1): 64–79. DOI : 10.1080 / 15325008.2010.513363 .
• Хаардт М., Золтовски М.Д., Мэтьюз К.П. и Носсек Дж. (1995, май). 2D унитарный ESPRIT для эффективной оценки параметров 2D. В icassp (стр. 2096-2099). IEEE.

Эта статья, связанная с обработкой сигналов, является незавершенной . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

• v
• t
• e