Эйлерово число
В комбинаторике эйлеровым числом A ( n , m ) называется количество перестановок чисел от 1 до n , в которых ровно m элементов больше предыдущего элемента (перестановки с m «подъёмами»). Это коэффициенты многочленов Эйлера :
Другими обозначениями для A ( n , m ) являются E ( n , m ) и .
В 1755 году Леонард Эйлер в своей книге « Institutiones исчисления дифференциальных » исследовал многочлены α 1 ( x ) = 1 , α 2 ( x ) = x + 1 , α 3 ( x ) = x 2 + 4 x + 1 и т. д. (см. факсимиле). Эти полиномы представляют собой сдвинутую форму того, что сейчас называют полиномами Эйлера A n ( x ).
Для данного значения n > 0 индекс m в A ( n , m ) может принимать значения от 0 до n − 1. Для фиксированного n существует единственная перестановка, имеющая 0 восхождений: ( n , n − 1, n − 2,..., 1). Существует также единственная перестановка, имеющая n - 1 восхождение; это восходящая перестановка (1, 2, 3, ..., n ). Следовательно , A ( n , 0) и A ( n , n − 1) равны 1 для всех значений n .
Обращение перестановки с m восхождений создает другую перестановку, в которой есть n - m - 1 восхождений. Следовательно , А ( п , м ) = А ( п , п - м - 1 ).
Приведенный выше треугольный массив называется треугольником Эйлера или треугольником Эйлера , и он имеет некоторые общие характеристики с треугольником Паскаля . Сумма строки n есть факториал n !.
