Ограничители потока используются в схемах с высоким разрешением - численных схемах, используемых для решения задач в науке и технике, в частности гидродинамики , описываемых уравнениями в частных производных (PDE). Они используются в схемах высокого разрешения, таких как схема MUSCL , чтобы избежать паразитных колебаний (покачиваний), которые в противном случае возникли бы в схемах пространственной дискретизации высокого порядка из-за ударов, разрывов или резких изменений в области решения. Использование ограничителей потока вместе с соответствующей схемой высокого разрешения позволяет уменьшить полное отклонение решения (TVD).
Обратите внимание, что ограничители потока также называются ограничителями наклона, потому что они оба имеют одинаковую математическую форму, и оба имеют эффект ограничения градиента решения вблизи ударов или разрывов. Обычно термин ограничитель потока используется, когда ограничитель воздействует на потоки системы , а ограничитель наклона используется, когда ограничитель воздействует на состояния системы (например, давление, скорость и т. Д.).
Как они работают
Основная идея построения схем ограничителя потока состоит в том, чтобы ограничить пространственные производные реалистичными значениями - для научных и инженерных задач это обычно означает физически реализуемые и значимые значения. Они используются в схемах высокого разрешения для решения задач, описываемых УЧП, и вступают в действие только при наличии острых волновых фронтов. Для плавно изменяющихся волн ограничители потока не работают, и пространственные производные могут быть представлены приближениями более высокого порядка без введения паразитных колебаний. Рассмотрим одномерную полудискретную схему ниже:
где, а также представляют краевые потоки для i-й ячейки. Если эти краевые потоки могут быть представлены схемами с низким и высоким разрешением, то ограничитель потока может переключаться между этими схемами в зависимости от градиентов, близких к конкретной ячейке, следующим образом:
- ,
- ,
где
- поток низкого разрешения,
- поток высокого разрешения,
- функция ограничителя потока,
а также представляет собой отношение последовательных градиентов на сетке решения, т. е.
- .
Функция ограничителя должна быть больше или равна нулю, т. Е. . Следовательно, когда ограничитель равен нулю (резкий градиент, противоположные наклоны или нулевой градиент), поток представлен схемой с низким разрешением . Аналогично, когда ограничитель равен 1 (гладкое решение), он представлен схемой высокого разрешения . Различные ограничители имеют разные характеристики переключения и выбираются в соответствии с конкретной проблемой и схемой решения. Не было обнаружено, что какой-либо конкретный ограничитель хорошо работает для всех проблем, и конкретный выбор обычно делается методом проб и ошибок.
Функции ограничителя
Ниже приведены распространенные формы функции ограничителя потока / наклона. :
ОЧАРОВАНИЕ [не TVD 2-го порядка] (Чжоу, 1995)
HCUS [не TVD 2-го порядка] (Waterson & Deconinck, 1995)
- .
HQUICK [не TVD 2-го порядка] (Waterson & Deconinck, 1995)
- .
Корен (Корен, 1993) - третий порядок точности для достаточно гладких данных [1]
- .
minmod - симметричный ( Roe , 1986)
- .
монотонный центральный (MC) - симметричный (van Leer, 1977)
- .
Ошер (Чакраварти и Ошер , 1983)
- .
ospre - симметричный (Waterson & Deconinck, 1995)
- .
умный [не TVD 2-го порядка] (Гаскелл и Лау, 1988)
- .
superbee - симметричный (Roe, 1986)
- .
Свеби - симметричный (Sweby, 1984)
- .
UMIST - симметричный (Lien & Leschziner, 1994)
- .
van Albada 1 - симметричный (van Albada, et al., 1982)
- .
van Albada 2 - альтернативная форма [не TVD 2-го порядка], используемая в схемах высокого пространственного порядка (Kermani, 2003)
- .
ван Леер - симметричный ( ван Леер , 1974)
- .
Все вышеуказанные ограничители, указанные как симметричные , обладают следующим свойством симметрии:
- .
Это желательное свойство, поскольку оно гарантирует, что ограничивающие действия для прямого и обратного градиентов работают одинаково.
Если не указано иное, вышеуказанные функции ограничителя являются TVD второго порядка . Это означает, что они спроектированы таким образом, что проходят через определенную область решения, известную как область TVD, чтобы гарантировать стабильность схемы. Ограничители TVD второго порядка удовлетворяют как минимум следующим критериям:
- ,
- ,
- ,
- ,
Допустимая область ограничителя для схем TVD второго порядка показана на диаграмме Свеби напротив (Sweby, 1984), а графики, показывающие функции ограничителя, наложенные на область TVD, показаны ниже. На этом изображении графики для ограничителей Ошера и Свеби были сгенерированы с использованием.
Обобщенный ограничитель minmod
Дополнительным ограничителем, имеющим интересную форму, является однопараметрическое семейство ограничителей minmod ван-Леера (van Leer, 1979; Harten, Osher, 1987; Kurganov, Tadmor, 2000). Он определяется следующим образом
Примечание: наиболее рассеянный для когда это сводится к и наименее диссипативен для .
Смотрите также
Заметки
- ^ Кузьмин, Д. (2006), «О разработке ограничителей потока общего назначения для неявных МКЭ с согласованной матрицей масс. I. Скалярная конвекция», Журнал вычислительной физики , 219 (2): 513–531, Bibcode : 2006JCoPh.219..513K , DOI : 10.1016 / j.jcp.2006.03.034
Рекомендации
- Чакраварти, SR; Ошер, С. (1983), "Приложения высокого разрешения схемы Ошера против ветра для уравнений Эйлера", Proc. АИАА шестых вычислительная гидродинамика конференции , стр. 363-373, AIAA Paper 83-1943, архивируются с оригинала на 2011-05-17 , извлекаться 2008-03-31
- Gaskell, PH; Лау, AKC (1988), "Конвективный перенос с компенсацией кривизны: SMART, новый алгоритм переноса, сохраняющий ограниченность", Int. J. Num. Meth. Жидкости , 8 (6): 617–641, Bibcode : 1988IJNMF ... 8..617G , doi : 10.1002 / fld.1650080602
- Harten, A .; Ошер, С. (1987), "Неосциллирующие схемы с равномерно высокой точностью. I" , SIAM J. Numer. Анальный. , 24 (2): 279-309, Bibcode : 1987SJNA ... 24..279H , DOI : 10,1137 / 0724022
- Хирш, К. (1990), Численный расчет внутренних и внешних потоков. Том 2: Вычислительные методы для невязких и вязких потоков , Wiley
- Кермани, MJ; Гербер, АГ; Stockie, JM (2003), «Прогноз влажности на основе термодинамики с использованием схемы Роу», 4-я конференция Иранского аэрокосмического общества , Технологический университет Амира Кабира, Тегеран, Иран, 27–29 января.CS1 maint: location ( ссылка )
- Корен, Б. (1993), «Надежный метод дискретизации против ветра для условий адвекции, диффузии и источников», в Vreugdenhil, CB; Корен Б. (ред.), Численные методы решения задач адвекции – диффузии , Брауншвейг: Vieweg, стр. 117, ISBN 3-528-07645-3
- Курганов, А .; Тадмор, Э. (2000), Решение двумерных задач Римана для газовой динамики без решателей задач Римана , Отчет кафедры математики, Univ. МичиганДоступно в Интернете по адресу: CiteSeer .
- Lien, FS; Leschziner, MA (1994), "Монотонная интерполяция восходящего потока для скалярного переноса с приложением к сложным турбулентным потокам", Int. J. Num. Meth. Жидкости , 19 (6): 527-548, Bibcode : 1994IJNMF..19..527L , DOI : 10.1002 / fld.1650190606
- Леонард, ВР; Leschziner, MA; МакГирк, Дж. (1978), "БЫСТРЫЙ алгоритм: равномерно-разностный метод третьего порядка для сильно конвективных потоков", Proc. 1-я конф. по численным методам ламинарного и турбулентного течения , Суонси, стр. 807
- Роу, П.Л. (1986), "Схемы на основе характеристик для уравнений Эйлера", Annu. Rev. Fluid Mech. , 18 : 337–365, Bibcode : 1986AnRFM..18..337R , doi : 10.1146 / annurev.fl.18.010186.002005
- Свеби, П.К. (1984), "Схемы высокого разрешения с использованием ограничителей потока для гиперболических законов сохранения", SIAM J. Numer. Анальный. , 21 (5): 995-1011, Bibcode : 1984SJNA ... 21..995S , DOI : 10,1137 / 0721062
- Van Albada, GD; Van Leer, B .; Робертс, WW (1982), "Сравнительное исследование вычислительных методов в космической газовой динамике", Астрономия и астрофизика , 108 (1): 76–84, Bibcode : 1982A & A ... 108 ... 76V
- Ван Леер, Б. (1974), «К окончательной консервативной разностной схеме II. Монотонность и сохранение, объединенные в схеме второго порядка», J. Comput. Phys. , 14 (4): 361-370, Bibcode : 1974JCoPh..14..361V , DOI : 10,1016 / 0021-9991 (74) 90019-9
- Ван Леер, Б. (1977), "К окончательной консервативной разностной схеме III. Конечно-разностные схемы, центрированные вверх по потоку для идеального сжимаемого потока", J. Comput. Phys. , 23 (3): 263-275, Bibcode : 1977JCoPh..23..263V , DOI : 10,1016 / 0021-9991 (77) 90094-8
- Ван Леер, Б. (1979), "К окончательной консервативной разностной схеме V. Продолжение второго порядка метода Годунова", J. Comput. Phys. , 32 (1): 101-136, Bibcode : 1979JCoPh..32..101V , DOI : 10,1016 / 0021-9991 (79) 90145-1
- Уотерсон, Н. П.; Деконинк, Х. (1995), Единый подход к разработке и применению схем ограниченной конвекции высокого порядка ( Препринт ВКИ, 1995-21)
- Чжоу Г. (1995), Численное моделирование физических разрывов в одиночных и многожидкостных потоках для произвольных чисел Маха (докторская диссертация), Гетеборг, Швеция: Chalmers Univ. Тех.
дальнейшее чтение
- Хирш, К. (1990), Численное вычисление внутренних и внешних потоков, Том 2: Вычислительные методы для невязких и вязких потоков , Wiley, ISBN 978-0-471-92452-4
- Laney, Culbert B. (1998), Вычислительная Газодинамика , Cambridge University Press, DOI : 10,2277 / 0521570697 , ISBN 978-0-521-57069-5
- Левек, Рэндалл (1990), Численные методы для законов сохранения , ETH Lectures in Mathematics Series, Birkhauser-Verlag, ISBN 3-7643-2464-3
- Левек, Рэндалл (2002), Методы конечных объемов для гиперболических задач , Cambridge University Press, ISBN 0-521-00924-3
- Торо, EF (1999), Решатели Римана и численные методы для гидродинамики (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-65966-8
- Таннехилл, Джон С.; Андерсон, Дейл Арден; Плетчер, Ричард Х. (1997), Вычислительная механика жидкости и теплопередача (2-е изд.), Тейлор и Фрэнсис, ISBN 1-56032-046-X
- Весселинг, Питер (2001), Принципы вычислительной гидродинамики , Springer-Verlag, ISBN 3-540-67853-0