В теории вероятностей , теорема Фостера , названная в честь Гордона Фостер , [1] используются , чтобы сделать выводы о положительной возвратности цепи Маркова с счетными пространствами состояний. Он использует тот факт, что положительные рекуррентные цепи Маркова демонстрируют понятие « устойчивости по Ляпунову » с точки зрения возврата в любое состояние при старте из него в течение конечного интервала времени.
Теорема
Рассмотрим неприводимое дискретное времени цепь Маркова на счетном пространстве состояний S , имеющего вероятность перехода матрицу P с элементами р Ij для пар I , J в S . Теорема Фостера утверждает, что цепь Маркова положительно рекуррентна тогда и только тогда, когда существует функция Ляпунова , так что а также
- для
- для всех
для некоторого конечного множества F и строго положительного ε . [2]
Ссылки по теме
Рекомендации
- Перейти ↑ Foster, FG (1953). «О стохастических матрицах, связанных с некоторыми процессами массового обслуживания» . Летопись математической статистики . 24 (3): 355. DOI : 10,1214 / АОМ / 1177728976 . JSTOR 2236286 .
- ^ Бремо, П. (1999). «Функции Ляпунова и мартингалы». Цепи Маркова . С. 167 . DOI : 10.1007 / 978-1-4757-3124-8_5 . ISBN 978-1-4419-3131-3.